Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 41/latex

\setcounter{section}{41}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 7 & -3 \\ 2 & 7 & 5 \\0 & 0 & -6 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} werde bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine \definitionsverweis {Basis}{}{,} bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} werde bezüglich der Standardbasis durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 2 & 7 \\ 0 & -2 & -6 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine \definitionsverweis {Basis}{}{,} bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{} {}

Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann heißt ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionswortpraemath {\varphi}{ invariant }{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(U) }
{ \subseteq} { U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige folgende Eigenschaften. \aufzaehlungfuenf{Der \definitionsverweis {Nullraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.} }{
\mathl{V}{} ist $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.} }{\definitionsverweis {Eigenräume}{}{} sind $\varphi$-invariant. }{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} $\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch
\mathl{U_1 \cap U_2}{} und
\mathl{U_1 + U_2}{} $\varphi$-invariant. }{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der \definitionsverweis {Bild\-raum}{}{}
\mathl{\varphi(U)}{} und der \definitionsverweis {Urbildraum}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(U)}{} $\varphi$-invariant. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der kleinste $\varphi$-\definitionsverweis {invariante Unterraum}{}{} von $V$, der $v$ enthält, gleich
\mathdisp {\langle \varphi^n(v) ,\, n \in \N \rangle} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \text{ es gibt ein } n \in \N \text{ mit } \varphi^n(v) = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Teilmenge von $V$ ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Unterraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$, bezüglich der die Matrix zur \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{} sei. Zeige, dass die \definitionsverweis {erzeugten Untervektorräume}{}{}
\mathdisp {\langle v_1 , \ldots , v_i \rangle} { }
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{} für jedes $i$ sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 7 & 9 & 8 \\ 6 & 2 & -7 \end{pmatrix}} { }
über $\R$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 5 & 6 & 2 \\ 5 & 7 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} werde bezüglich der Standardbasis durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine \definitionsverweis {Basis}{}{,} bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Eigenraum}{}{} von $M$ zum Eigenwert $\lambda$ eindimensional ist und dass es keine weiteren \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{M}{} eine \definitionsverweis {reelle}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} die über $\R$ nicht \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist. Zeige, dass $M$ über ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

Eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} auf einem \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{} heißt \definitionswort {eigentlich}{,} wenn ihre \definitionsverweis {Determinante}{}{} gleich $1$ ist.

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $f$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist. Zeige, dass dann $f$ sogar \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}