Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Rationale Zahlen

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Satz:

Die Menge der rationalen Zahlen entspricht genau der Menge der endlichen Dezimalzahlen und der unendlichen periodischen Dezimalzahlen.

Satz:

Jede rationale Zahl ist eine endliche Dezimalzahl oder eine unendliche periodische Dezimalzahl.

unendliche Folge von Neunern

Satz:

$\forall \left(q\in \mathbb {Q} \land q\in \left]0,1\right[\right):\ \sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}=1+q+\ldots +q^{n}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}$

Beweis:

$\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}={\frac {1}{1-q}}-{\frac {q^{n+1}}{1-q}}\Rightarrow \sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}-{\frac {1}{1-q}}=-{\frac {q^{n+1}}{1-q}}$
$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }-{\frac {q^{n+1}}{1-q}}=-{\frac {0}{1-q}}=0$
$\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}-{\frac {1}{1-q}}=0\Rightarrow \sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1}{1-q}}$

Satz:

Jede unendliche Dezimalzahl, welche mit einer unendlichen Folge von Neunern endet, stellt eine endliche Dezimalzahl dar.

Beispiel:

$0{,}999\ldots =1$

Beweis:

$0{,}999\ldots =$ $0{,}9\,\left(1+10^{-1}+10^{-2}+10^{-3}+\ldots +10^{-\infty }\right)=$ $0{,}9\,\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{k}=$ $0{,}9\,{\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}=$ $0,9\,{\frac {10}{9}}=$ $1$

Definition:

Um eine eindeutige Zahlendarstellung zu erhalten, tritt im dezimalen Zahlensystem ab einen bestimmten Index die Ziffer 9 nicht mehr auf.

Umwandlung zwischen Bruch- und Dezimaldarstellung

Satz:

Die Umwandlung einer rationalen Zahl in die Dezimaldarstellung erfolgt durch Division mit Rest.

Beispiel:: ${\begin{array}{l}600:22=27{,}27272\ldots =27,{\overline {27}}\\{\underline {16}}0\\\quad {\underline {6}}0\\\qquad \ldots \end{array}}$

Satz:

Bei der Division mit Rest einer Zahl ${}_{m}$ durch die Zahl ${}_{n}$ mit ${}_{m,n\in \mathbb {N} }$ können als Rest nur die Zahlen ${}_{0,\ldots ,n-1}$ auftreten.

Die Division muss hierbei entweder endlich sein oder in einer Periode mit einer Länge von höchstens ${}_{n-1}$ enden.

Satz:

Eine Dezimalzahl wird durch Umwandlung in eine Reihe in einen Bruch umgeformt.

Beispiel:: $27,{\overline {27}}=27\,\left(1+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{4}}}+\ldots \right)$

Hierbei gilt

1+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{4}}}+\ldots =\left({\frac {1}{100}}\right)^{0}+\left({\frac {1}{100}}\right)^{1}+\ldots =\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{100}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{100}}}}

Daraus erhält man

27,{\overline {27}}=27\,{\frac {1}{1-{\frac {1}{100}}}}=27\,{\frac {1}{0{,}99}}={\frac {2.700}{99}}

mit

{\frac {2.700}{600}}=4{,}5;\ {\frac {99}{4{,}5}}=22

erhält man

27,{\overline {27}}={\frac {2.700}{99}}={\frac {600}{22}}

Betrag rationaler Zahlen

Definition:

Der Betrag einer rationalen Zahl ${}_{x\in \mathbb {Q} }$ ist gegeben durch

\left|x\right|={\begin{cases}\ \ x&\mathrm {wenn\ } x\leq 0\\-x&\mathrm {wenn\ } x<0\end{cases}}

rationale Intervallschachtelung

Definition:

Das Intervall ${}_{\left[a,b\right]}$ mit ${}_{a,b\in \mathbb {Q} }$ und ${}_{a<b}$ stellt alle Punkte auf der Zahlengeraden dar, welche sich zwischen den Endpunkten ${}_{a}$ und ${}_{b}$ befinden, sowie die Endpunkte ${}_{a}$ und ${}_{b}$ selbst. Die Intervalllänge ${}_{l}$ des Intervalls ${}_{\left[a,b\right]}$ ist gegeben durch ${}_{l=b-a}$

Definition:

Als rationale Intervallschachtelung ${}_{S}$ bezeichnet man eine Folge von von Intervallen der Form

\forall n\in \mathbb {N} :\ \exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {Q} :\ \left[a_{n},b_{n}\right]

,

wobei jedes Intervall ${}_{\left[a_{n},b_{n}\right]}$ im vorhergehenden Intervall ${}_{\left[a_{n-1},b_{n-1}\right]}$ enthalten ist:

\forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n-1}\leq a_{n}<b_{n}\leq b_{n-1}

.

Die Längen der Folgen ${}_{l_{n}:=b_{n}-a_{n}}$ rationaler Zahlen ${}_{\mathbb {Q} }$ konvergiert gegen Null.

Satz:

Die Längen der Intervalle in einer rationalen Intervallschachtelung ${}_{l_{n}:=b_{n}-a_{n}}$ konvergiert in ${}_{\mathbb {Q} }$ gegen Null.

Satz:

Das Intervallschachtelungsaxiom besagt, dass es für eine rationale Intervallschachtelung ${}_{S}$ nur ein einziger Punkt auf der Zahlengeraden existiert, welcher in allen Intervallen enthalten ist.

Satz:

Jedem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht genau ein unendlicher Dezimalbruch.

Beweis:

Jedem Punkt ${}_{P}$ auf der Zahlengeraden werden zwei Punkte ${}_{a_{1}}$ und ${}_{b_{1}}$ zugeordnet, wobei ${}_{a_{1}}$ links und ${}_{b_{1}}$ rechts von ${}_{P}$ liegt:

a_{1}<P<b_{1}

Man nähert nun den Punkt ${}_{R}$ iterativ an den Punkt ${}_{P}$ an:

R_{n}:={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}

R_{n}<P:\quad a_{n+1}:=R_{n};\quad b_{n}+1:=b_{n}

R_{n}>P:\quad a_{n+1}:=a_{n};\quad b_{n}+1:=R_{n}

R_{n}=P:\quad m:=n

(Abbruchbedingung)

Dadurch wird eine rationale Intervallschachtelung ${}_{\left[a_{n},b_{n}\right]}$ mit ${}_{n\in \mathbb {N} }$ definiert, wobei jedes Intervall den Punkt ${}_{P}$ enthält. Da zwei verschiedene Punkte verschiedenen Zahlen entsprechen ist die Zuordnung injektiv.

TODO: surjektive Intervallschachtelung

Beispiel:

Die rationale Intervallschachtelung kann etwa angewendet um ${}_{\sqrt {2}}$ zu berechnen. Dazu definiert man ein Intervall, welches ${}_{x={\sqrt {2}}}$ enthält:

1^{2}=1;\quad 2^{2}=4

also gilt

(1<x<2)\Leftrightarrow (1<2<4)

man halbiert nun den Intervall:

x_{1}:={\frac {1+2}{2}}=1{,}5\Leftrightarrow x_{1}^{2}:={\frac {1+4}{2}}=2{,}5

da ${}_{2{,}5>2}$ , kann nun ein neues Intervall mit

1<x<1{,}5\Leftrightarrow 1<2<2{,}5

angegeben werden. Durch weitere Halbierung kann ${}_{x}$ beliebig genau angenähert werden.