Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/elementare Funktionen

Grundbegriffe Bearbeiten

Definition:

Der Einheitskreis ist ein Kreis in der Ebene mit einem Mittelpunkt im Ursprung ${}_{O}$ und dem Radius ${}_{1}$ .

Definition:

Ein Winkel ${}_{\alpha }$ entspricht einem Punkt ${}_{P}$ auf dem Einheitskreis und liegt zwischen der positiven Achse in Richtung ${}_{x}$ und dem Strahl ${}_{\overline {OP}}$ .

Definition:

Das Bogenmaß ${}_{x}$ stellt die Länge des Kreisbogens vom Punkt mit den Koordinaten ${}_{(1,0)}$ zum Punkt ${}_{P}$ dar.

Definition:

Bei der Bestimmung des Winkels und des Bogenmaßes wird die Orientierung so gewählt, dass eine Drehung gegen den Urzeigersinn einem positiven Winkel entspricht.

Definition:

Dem ganzen Kreis entspricht ein Winkel von 360° bzw. das Bogenmaß ${}_{2\,\pi }$ .

Satz:

Es gilt der Zusammenhang

x=x\,{\frac {{180}^{\circ }}{\pi }}=\alpha \,{\frac {\pi }{{180}^{\circ }}}=\alpha

Aufgrund der Periodizität des Kreises kann das Bogenmaß als reelle Zahl ${}_{x\in \mathbb {R} }$ betrachtet werden. Hierbei wird allen ${}_{\left\{x+2\,n\,\pi \left|n\in \mathbb {Z} \right.\right\}}$ derselbe Punkt ${}_{P}$ zugeordnet. Durch den Zusammenhang ${}_{x=\alpha }$ gilt dies analog auch für den Winkel. Eine Änderung des Bogenmaßes um ${}_{2\,\pi }$ ( ${}_{={360}^{\circ }}$ ) entspricht hierbei einem Umlauf auf dem Einheitskreis.

trigonometrische Funktionen Bearbeiten

Sinus und Kosinus Bearbeiten

Definition:

Die Kosinusfunktion ${}_{\cos }$ und die Sinusfunktion ${}_{\sin }$ werden wie folgt definiert:

$\cos :\ \mathbb {R} \rightarrow \left[-1,1\right],\quad x\mapsto \cos x$
$\sin :\ \mathbb {R} \rightarrow \left[-1,1\right],\quad x\mapsto \sin x$

Hierbei ist ${}_{(\cos x,\ \sin x)}$ der dem Bogenmaß ${}_{x}$ entsprechende Punkt ${}_{P}$ im Einheitskreis.

Satz:

Da das Bogenmaß ${}_{x}$ ${}_{2\,\pi }$ -periodisch ist, sind auch ${}_{\sin x}$ und ${}_{\cos x}$ ${}_{2\,\pi }$ -periodisch.

Beweis:

$\cos(x+2\,\pi )=\cos x$
$\sin(x+2\,\pi )=\sin x$

Satz:

Es gelten zudem die folgenden Zusammenhänge:

$\sin(x+\pi )=-\sin x$
$\cos(x+\pi )=-\cos x$
$\cos x=\sin \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)$
$\sin x=\cos \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)$

Satz:

Für die Nullstellen gilt:

${}_{\sin x}$ hat die Nullstellen
$\forall k\in \mathbb {Z} :\ x=k\,\pi$
${}_{\cos x}$ hat die Nullstellen
$\forall k\in \mathbb {Z} :\ x=\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\,\pi$

Satz:

${}_{\sin x}$ ist ungerade:
$\sin x\neq \sin(-x)$
${}_{\cos x}$ ist gerade:
$\cos x=\cos(-x)$

Satz:

$\forall x\in \mathbb {R} :\ \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

Satz:

$\forall x\in \mathbb {R} :\ \left|\sin x\right|\leq 1$
$\forall x\in \mathbb {R} :\ \left|\cos x\right|\leq 1$

Wichtige Winkel
$x$	$\sin x$	$\cos x$
$0$	$0$	$1$
${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$
${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$
${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$
${\frac {\pi }{2}}$	$1$	$0$

Vorzeichen in den einzelnen Quadranten
Quadrant	$\sin x$	$\cos x$
$\mathrm {I}$	$+$	$+$
$\mathrm {II}$	$+$	$-$
$\mathrm {III}$	$-$	$-$
$\mathrm {IV}$	$-$	$+$

Sinussatz Bearbeiten

Satz:

Der Sinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten ${}_{a}$ , ${}_{b}$ und ${}_{c}$ , sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln ${}_{\alpha }$ , ${}_{\beta }$ und ${}_{\gamma }$ der Zusammenhang

{\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}

gilt.

Beweis:

Sei ${}_{h_{a}}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt ${}_{A}$ , welche normal auf die Seite ${}_{a}$ steht. Der Punkt ${}_{A}$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten ${}_{b}$ und ${}_{c}$ . Aus ${}_{\sin \gamma ={\frac {h_{a}}{b}}}$ und ${}_{\sin \beta ={\frac {h_{a}}{c}}}$ folgt ${}_{b\,\sin \gamma =c\,\sin \beta }$ .
Sei ${}_{h_{b}}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt ${}_{B}$ , welche normal auf die Seite ${}_{b}$ steht. Der Punkt ${}_{B}$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten ${}_{a}$ und ${}_{c}$ . Aus ${}_{\sin \gamma ={\frac {h_{c}}{a}}}$ und ${}_{\sin \alpha ={\frac {h_{c}}{c}}}$ folgt ${}_{a\,\sin \gamma =c\,\sin \alpha }$ .
Sei ${}_{h_{c}}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt ${}_{C}$ , welche normal auf die Seite ${}_{c}$ steht. Der Punkt ${}_{C}$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten ${}_{a}$ und ${}_{b}$ . Aus ${}_{\sin \alpha ={\frac {h_{c}}{b}}}$ und ${}_{\sin \beta ={\frac {h_{c}}{a}}}$ folgt ${}_{a\,\sin \beta =b\,\sin \alpha }$ .

Durch Gleichsetzen erhält man den Sinussatz. Einer der in diesem Beweis genannten Sätze ist hierbei redundant und kann für die Beweisführung entfallen.

Kosinussatz Bearbeiten

Satz:

Der Kosinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten ${}_{a}$ , ${}_{b}$ und ${}_{c}$ , sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln ${}_{\alpha }$ , ${}_{\beta }$ und ${}_{\gamma }$ die Zusammenhänge

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cos \alpha$
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\,a\,c\,\cos \beta$
$c^{2}=b^{2}+a^{2}-2\,b\,a\,\cos \gamma$

gelten. Hierbei können jeweils zwei dieser Gleichungen aus der jeweils dritten Gleichung abgeleitet werden.

Beweis:

TODO

Additionstheoreme für Sinus- und Kosinusfunktion Bearbeiten

Satz:

$\forall x,y\in \mathbb {R} \ :$

$\sin(x\pm y)=\sin x\,\cos y\pm \cos x\,\sin y$
$\cos(x\pm y)=\cos x\,\cos y\mp \sin x\,\sin y$
$\sin(2\,x)=2\,\sin x\,\cos x$
$\cos(2\,x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$
$2\,\sin ^{2}x=1-\cos(2x)$
$2\,\cos ^{2}x=1+\cos(2x)$
$2\,\cos x\,\cos y=\cos(x-y)+\cos(x+y)$
$2\,\sin x\,\cos y=\sin(x-y)+\sin(x+y)$
$2\,\sin x\,\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y)$
$\sin x\pm \sin y=2\,\sin {\frac {x\pm y}{2}}\,\cos {\frac {x\mp y}{2}}$
$\cos y+\cos y=2\,\cos {\frac {x+y}{2}}\,\cos {\frac {x-y}{2}}$
$\cos x-\cos y=-2\,\sin {\frac {x+y}{2}}\,\sin {\frac {x-y}{2}}$

Beweis:

TODO

Tangens und Kotangens Bearbeiten

Definition:

Der Tangens ${}_{\tan }$ ist wie folgt definiert:

$\forall k\in \mathbb {Z} :\ \tan :\ \left]-{\frac {k\,\pi }{2}},{\frac {k\,\pi }{2}}\right[\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\sin x}{\cos x}}$

oder

$\forall k\in \mathbb {Z} :\ \tan :\ \mathbb {R} \setminus \left(\pi \,k+{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\sin x}{\cos x}}$

Definition:

Der Kotangens ${}_{\cot }$ ist wie folgt definiert:

$\forall k\in \mathbb {Z} :\ \cot :\ \left]k,k\,\pi \right[\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1}{\tan x}}$

oder

$\forall k\in \mathbb {Z} :\ \cot :\ \mathbb {R} \setminus \left(k\,\pi \right)\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1}{\tan x}}$

Satz:

Tangens und Kotangens sind ${}_{\pi }$ -periodisch.

Satz:

Der Tangens ist wegen

\tan x=-\tan(-x)

ungerade.

Satz:

Der Kotangens ist wegen

\cot x=-\cot(-x)

ungerade.

Satz:

$\cot x=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$

Satz:

Das Additionstheorem für Tangens lautet:

\tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\,\tan y}}

Satz:

Das Additionstheorem für Kotangens lautet:

\cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}

Wichtige Winkel
$x$	$\tan x$	$\cot x$
$0$	$0$	$\left[\infty ,-\infty \right]$
${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\sqrt {3}}$
${\frac {\pi }{4}}$	$1$	$1$
${\frac {\pi }{3}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$
${\frac {\pi }{2}}$	$\left[\infty ,-\infty \right]$	$0$

Ungleichungen Bearbeiten

Satz:

Es gilt die Ungleichung

\forall x\in \mathbb {R} :\ \left|\sin x\right|\leq \left|x\right|

Beweis:

TODO

Satz:

Es gilt die Ungleichung

x\in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[:\ x\leq \tan x

Beweis:

TODO

Stetigkeit der Winkelfunktionen Bearbeiten

Satz:

Die Funktionen ${}_{\sin x}$ , ${}_{\cos x}$ , ${}_{\tan x}$ und ${}_{\cot x}$ sind im Definitionsbereich stetig.

Satz:

Die Funktion ${}_{\tan x}$ hat an den Stellen

k\in \mathbb {Z} :\ x=k\,\pi +{\frac {\pi }{2}}

Pole erster Ordnung.

Satz:

Die Funktion ${}_{\cot x}$ hat an den Stellen

k\in \mathbb {Z} :\ x=k\,\pi

Pole erster Ordnung.

Beweis:

TODO

Arcus-Funktionen Bearbeiten

Die Arcus-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Weben der Periodizität der trigonometrischen Funktionen sind diese nur auf Teilen der Definitionsbereiche umkehrbar.

Arcus sinus Bearbeiten

Definition:

Der Arcus sinus ist die Umkehrfunktion des Sinus. Da der Sinus im Bereich ${}_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ stetig und streng monoton wachsend ist, wird der Arcus sinus wie folgt definiert:

\arcsin :\ \left[-1,1\right]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],\ x\mapsto \arcsin x

Satz:

Die Funktion ${}_{\arcsin x}$ ist stetig und streng monoton wachsend.

Arcus cosinus Bearbeiten

Definition:

Der Arcus cosinus ist die Umkehrfunktion des Kosinus. Da der Kosinus im Bereich ${}_{\left]0,\pi \right[}$ stetig und streng monoton fallend ist, wird der Arcus cosinus wie folgt definiert:

\arccos :\ \left[-1,1\right]\to \left[0,\pi \right],\ x\mapsto \arccos x

Satz:

Die Funktion ${}_{\arctan x}$ ist stetig und streng monoton fallend.

Arcus tangens Bearbeiten

Definition:

Der Arcus tangens ist die Umkehrfunktion des Tangens. Da der Tangens im Bereich ${}_{\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ stetig ist, wird der Arcus tangens wie folgt definiert:

\arctan :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[,\ x\mapsto \arctan x

Satz:

Die Funktion ${}_{\arctan x}$ ist stetig und streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt:

\lim \limits _{x\to \pm \infty }\left(\arctan x\right)=\pm {\frac {\pi }{2}}

Die Funktion ${}_{\arctan x}$ wird etwa benötigt um karthesische Koordinaten der Form ${}_{(x,y)}$ in Polarkoordinaten der Form ${}_{(r,\varphi )}$ zu transformieren. Aus

(x,y)=(r\,\cos \varphi ,\ r\,\sin \varphi )

folgt

(r,\tan \varphi )=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{z}}\right)

Bei der Bestimmung des Winkels ${}_{\varphi \in \left[0,2\,\pi \right)}$ muss man berücksichtigen in welchem Quadrant der Punkt ${}_{(x,y)}$ liegt. Ist ${}_{n}$ die Nummer des Quadranten und ${}_{\lfloor \ \rfloor }$ die Gaußklammer, so gilt:

(r,\varphi )=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\arctan {\frac {y}{x}}+\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \,\pi \right)

Potenzfunktionen Bearbeiten

allgemeine Potenzfunktion Bearbeiten

Definition:

Die allgemeine Potenzfunktion mit der Basis ${}_{x}$ und dem Exponenten ${}_{y}$ wird als

y\mapsto x^{y}

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Potenzfunktion zum Exponenten ${}_{y}$ bezeichnet.

Der Definitionsbereich der Potenzfunktion ist vom Exponenten abhängig:

für ${}_{y\in \mathbb {Z} \land y>0}$ ist ${}_{x^{y}}$ ein auf ${}_{\mathbb {R} }$ definiertes Polynom.
für ${}_{y\in \mathbb {Z} \land y<0}$ ist ${}_{x^{y}}$ ein auf ${}_{\mathbb {R} \setminus 0}$ definierte rationale Funktion.
für ${}_{y=0}$ ist die Funktion gleich ${}_{1}$ .
für ${}_{y\in \mathbb {R} \setminus Z\land y\neq 0}$ sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall ${}_{\left[0,\infty \right)}$ .
für ${}_{y\in \mathbb {R} \setminus Z\land y<0}$ sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall ${}_{\left(0,\infty \right)}$ .

Satz:

Die Funktion ${}_{x^{y}}$ ist im Bereich ${}_{y<0}$ streng monoton fallend und im Bereich ${}_{y>0}$ streng monoton wachsend.

Satz:

Die Funktion ${}_{x^{y}}$ ist in ihrem Definitionsbereich stetig.

allgemeine Exponentialfunktion Bearbeiten

Definition:

Die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis ${}_{x}$ und dem Exponenten ${}_{y}$ wird als

{\forall x\in \mathbb {R} }\land {x>0}:\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+},\ x\mapsto x^{y}

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Exponentialfunktion zur Basis ${}_{x}$ bezeichnet.

Satz:

Für die allgemeine Exponentialfunktion gilt das Multiplikationstheorem

\forall x,y\in \mathbb {R} :\ x^{a}\,x^{b}=x^{a+b}

Beweis:

TODO: siehe Rechenregeln für rationale und reelle Zahlen.

Satz:

Die Funktion ${}_{x^{y}}$ ist für

${}_{x>1}$ streng monoton wachsend.
${}_{x=1}$ konstant.
${}_{x>1}$ streng monoton fallend.

Satz:

Die allgemeine Exponentialfunktion ist auf ${}_{\mathbb {R} }$ stetig.

Beweis:

Es gelten ${}_{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x^{\frac {1}{n}}=1}$ und ${}_{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x^{-{\frac {1}{n}}}=1}$ .

Zu einem beliebigen ${}_{\epsilon >0}$ gibt es daher eine natürliche Zahl ${}_{n:=N(\epsilon )\in \mathbb {N} }$ , so dass für ${}_{x>1}$ der Zusammenhang

1-\epsilon <x^{-{\frac {1}{n}}}<x^{\frac {1}{n}}<1+\epsilon

gilt.

Für ${}_{\left|y\right|<{\frac {1}{n_{\epsilon }}}=\delta (\epsilon )}$ folgt hieraus aufgrund der Monotonie der Exponentialfunktion der Zusammenhang

1-\epsilon <x^{y}<1+\epsilon

Die Funktion ${}_{x^{y}}$ ist somit an der Stelle ${}_{y=0}$ stetig.

Für ${}_{y\neq 0}$ schreibt man ${}_{x^{y'}=x^{y}\,x^{{y'}-y}}$ . Der Beweis erfolgt über den Satz der Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.

Für ${}_{y\in \left]0,1\right[}$ folgt die Stetigkeit durch Einsetzen von ${}_{y={\frac {1}{b}}}$ mit ${}_{b\in \mathbb {R} \land b>1}$ .

Satz:

Es gilt:

$\forall x\in \mathbb {R} \land x>1:$
$\lim \limits _{y\rightarrow \infty }x^{y}=\infty$

$\lim \limits _{y\rightarrow -\infty }x^{y}=0$
$\forall x\in \mathbb {R} \land x\in \left]0,1\right[:$
$\lim \limits _{y\rightarrow \infty }x^{y}=0$

$\lim \limits _{y\rightarrow -\infty }x^{y}=\infty$

allgemeiner Logarithmus Bearbeiten

Da die allgemeine Exponentialfunktion ${}_{b^{x}}$ mit ${}_{b\neq 1}$ das Intervall ${}_{\left]-\infty ,\infty \right[}$ streng monoton auf das Intervall ${}_{\left]0,\infty \right[}$ abbildet, existiert eine Umkehrfunktion, welche das Intervall ${}_{\left]0,\infty \right[}$ auf ${}_{\left]-\infty ,\infty \right[}$ abbildet.

Definition:

Es sei ${}_{b\in \mathbb {R} \land b>0}$ . Die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion ${}_{b^{x}}$ ist definiert durch

\log _{b}:\ \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,\ y\mapsto \log _{b}x

und wird als Logarithmus zur Basis ${}_{b}$ bezeichnet.

Satz:

Es gilt:

$y=\log _{b}x\Leftrightarrow x=b^{y}$
$\forall x\in \left]0,\infty \right[:\ b^{\log _{b}x}=x$
$\forall y\in \left]-\infty ,\infty \right[:\ \log _{b}b^{y}=y$
$\log _{b}b=1$
$\log _{b}1=0$

Satz:

Für Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:

$\log _{b}x+\log _{b}y=\log _{b}x\,y$ (Additionstheorem)
$\log _{b}x^{y}=y\,\log _{b}x$
$\log _{b}z=\log _{a}z\,\log _{b}a$

Beweis:

Im Multiplikationstheorem für die allgemeine Exponentialfunktion ${}_{b^{x+y}=b^{x}\,b^{y}}$ wird der Exponent ${}_{x}$ durch ${}_{\log _{b}x}$ und der Exponent ${}_{y}$ durch ${}_{\log _{b}y}$ ersetzt. Das Additionstheorem folgt aus
$b^{({\log _{b}x}+{\log _{b}y})}=b^{(\log _{b}x)}\,b^{(\log _{b}y)}=x\,y=b^{(\log _{b}x\,y)}$
Mit ${}_{r=\log _{b}y}$ folgt aus ${}_{(b^{r})^{x}=b^{r\,x}}$ der Zusammenhang
$y^{x}=\left(b^{\log _{b}y}\right)^{x}=b^{x\,{(\log _{b}y)}}$
Ersetzt man in ${}_{\log _{b}a^{y}=y\,\log _{b}a}$ die Variable ${}_{y}$ durch den Ausdruck ${}_{\log _{a}z}$ , so erhält man den Zusammenhang
$\log _{b}a^{\log _{a}z}=\log _{b}z={\log _{a}z}\,\log _{b}a$

natürliche Exponentialfunktion und natürlicher Logartithmus Bearbeiten

Definition:

Die Funktion ${}_{e^{x}}$ bzw. ${}_{\exp x}$ wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.

\exp :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]0,\infty \right[,\ x\mapsto e^{x}

Satz:

Die Funktion ${}_{e^{x}}$ ist auf dem gesamten Bereich ${}_{x\in \mathbb {R} }$ stetig und streng monoton wachsend.

Definition:

Die Umkehrfunktion von ${}_{e^{x}}$ ist ${}_{\ln x}$ und wird als natürlicher Logarithmus bezeichnet.

\ln :\ \left]0,\infty \right[\rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln x

Satz:

Für den natürlichen Logarithmus gelten die folgenden Zusammenhänge:

$\ln 1=0$
$\forall x\in \mathbb {R} :\ \ln e^{x}=x$ (Spezialfall: $\forall x\in \mathbb {R} :\ \ln e=1$ )
$\forall x\in \mathbb {R} \land x>0:\ e^{\ln x}=x$

Satz:

Über ${}_{x=e^{\ln x}}$ erhält man im Definitionsbereich ${}_{\left]0,\infty \right[}$ für ${}_{x^{y}}$ den Zusammenhang ${}_{x^{y}=e^{y\,\ln x}}$ .

Satz:

Es gilt

\forall x\in \left]0,\infty \right[:\ \log _{b}x={\frac {\ln x}{\ln b}}

Hyperbelfunktionen Bearbeiten

Der Begriff „Hyperbelfunktion“ ist darin begründet, dass die Punkte

t\in \mathbb {R} :\ (\cosh t,\sinh t)

alle auf der Hyperbel

x^{2}-y^{2}=1

liegen. Es handelt sich also um die Parameterdarstellung dieser Hyperbel.

Satz:

Alle Hyperbelfunktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig.

Cosinus hyperbolicus Bearbeiten

Definition:

Der Cosinus hyperbolicus wird definiert über

\cosh :\ \mathbb {R} \rightarrow \left[1,\infty \right[,\ x\mapsto {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=-i\,\sin(i\,x)

Cosinus hyperbolicus

Satz:

Die Funktion ${}_{\cosh }$ ist gerade.

Satz:

Die Funktion ${}_{\cosh }$ ist im Bereich ${}_{\left]-\infty ,0\right]}$ streng monoton fallend und im Bereich ${}_{\left[0,\infty \right[}$ streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt

$\lim \limits _{x\rightarrow \pm \infty }\cosh x=\infty$
$\lim \limits _{x\rightarrow \infty }\cosh x=\infty$
$\lim \limits _{x\rightarrow -\infty }\cosh x=-\infty$
$\lim \limits _{x\rightarrow \infty }\cosh x=1$
$\lim \limits _{x\rightarrow -\infty }\cosh x=-1$

Sinus hyperbolicus Bearbeiten

Definition:

Der Sinus hyperbolicus wird definiert über

\sinh :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]-\infty ,\infty \right[,\ x\mapsto {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=\cos(i\,x)

Sinus hyperbolicus

Satz:

Die Funktion ${}_{\sinh }$ ist ungerade.

Tangens hyperbolicus Bearbeiten

Definition:

Der Tangens hyperbolicus wird definiert über

\tanh :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]-1,1\right[,\ x\mapsto {\frac {\sinh x}{\cosh x}}

Tangens hyperbolicus

Satz:

Die Funktion ${}_{\tanh }$ ist ungerade.

Cotangens hyperbolicus Bearbeiten

Definition:

Der Cotangens hyperbolicus wird definiert über

\coth :\ \mathbb {R} \setminus 0\rightarrow \mathbb {R} \setminus \left[1,1\right],\ x\mapsto {\frac {\cosh x}{\sinh x}}

Cotangens hyperbolicus

Satz:

Die Funktion ${}_{\coth }$ ist ungerade.

Additionstheoreme Bearbeiten

Satz:

Es gelten ${}_{\forall x,y\in \mathbb {R} }$ die folgenden Additionstheoreme:

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$
$\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh(2\,x)$
$\cosh x\pm \sinh x=e^{\pm x}$
$\cosh(x\pm y)=\cosh x\,\cosh y\pm \sinh x\,\sinh y$
$\sinh(x\pm y)=\sinh x\,\cosh y\pm \cosh x\,\sinh y$

Diese Additionstheoreme ergeben sich über die Definition der Hyperbelfunktionen aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion.

Areafunktionen Bearbeiten

Definition:

Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen.

Area sinus hyperbolicus Bearbeiten

Satz:

Die Funktion Area sinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus. Sie wird definiert durch

\operatorname {arsinh} :\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)

Beweis:

Da die Funktion ${}_{\sinh }$ auf ${}_{\mathbb {R} }$ streng monoton wachsend ist, existiert eine Umkehrfunktion. Aus den Definitionen

\sinh x={\frac {1}{2}}\,\left(e^{x}-e^{-x}\right)

und

x=\sinh y\Leftrightarrow x=\operatorname {arsinh\,} y

folgt

2\,x=e^{y}-e^{-y}

.

Mit ${}_{e^{y}=z}$ und anschließender Multiplikation mit ${}_{z}$ erhält man die quadratische Gleichung

z^{2}-2\,x\,z-1=0

mit den Lösungen

z_{1,2}=x\pm {\sqrt {x^{2}+1}}

.

Da ${}_{z>0}$ ist, gilt

z=e^{y}=x+{\sqrt {x^{2}+1}}

.

Daraus erhält man

y=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)

.

Area cosinus hyperbolicus Bearbeiten

Satz:

Die Funktion Area cosinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cosinus hyperbolicus. Sie gilt nur im Intervall ${}_{\left[1,\infty \right[}$ und ist definiert durch

\operatorname {arcosh} :\ \left[1,\infty \right[\rightarrow \left[0,\infty \right[,\ x\mapsto \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)

Beweis:

Die Funktion ${}_{y=\cosh x}$ jeden Wert ${}_{y\in \left]0,\infty \right[}$ zweimal an.

Auf dem Bereich ${}_{x\in \left[0,\infty \right[}$ ist sie streng monoton wachsend. In diesem Bereich existiert daher eine Umkehrfuktion. Aus den Definitionen