Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/elementare Funktionen
Grundbegriffe
Bearbeiten- Definition:
Der Einheitskreis ist ein Kreis in der Ebene mit einem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius .
- Definition:
Ein Winkel entspricht einem Punkt auf dem Einheitskreis und liegt zwischen der positiven Achse in Richtung und dem Strahl .
- Definition:
Das Bogenmaß stellt die Länge des Kreisbogens vom Punkt mit den Koordinaten zum Punkt dar.
- Definition:
Bei der Bestimmung des Winkels und des Bogenmaßes wird die Orientierung so gewählt, dass eine Drehung gegen den Urzeigersinn einem positiven Winkel entspricht.
- Definition:
Dem ganzen Kreis entspricht ein Winkel von 360° bzw. das Bogenmaß .
Satz:
Es gilt der Zusammenhang
Aufgrund der Periodizität des Kreises kann das Bogenmaß als reelle Zahl betrachtet werden. Hierbei wird allen derselbe Punkt zugeordnet. Durch den Zusammenhang gilt dies analog auch für den Winkel. Eine Änderung des Bogenmaßes um ( ) entspricht hierbei einem Umlauf auf dem Einheitskreis.
trigonometrische Funktionen
BearbeitenSinus und Kosinus
Bearbeiten- Definition:
Die Kosinusfunktion und die Sinusfunktion werden wie folgt definiert:
Hierbei ist der dem Bogenmaß entsprechende Punkt im Einheitskreis.
Satz:
Da das Bogenmaß -periodisch ist, sind auch und -periodisch.
Beweis:
Satz:
Es gelten zudem die folgenden Zusammenhänge:
Satz:
Satz:
|
|
Sinussatz
BearbeitenSatz:
Der Sinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten , und , sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln , und der Zusammenhang
gilt.
Beweis:
- Sei die Höhe des Dreiecks durch den Punkt , welche normal auf die Seite steht. Der Punkt sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten und . Aus und folgt .
- Sei die Höhe des Dreiecks durch den Punkt , welche normal auf die Seite steht. Der Punkt sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten und . Aus und folgt .
- Sei die Höhe des Dreiecks durch den Punkt , welche normal auf die Seite steht. Der Punkt sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten und . Aus und folgt .
Durch Gleichsetzen erhält man den Sinussatz. Einer der in diesem Beweis genannten Sätze ist hierbei redundant und kann für die Beweisführung entfallen.
Kosinussatz
BearbeitenSatz:
Der Kosinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten , und , sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln , und die Zusammenhänge
gelten. Hierbei können jeweils zwei dieser Gleichungen aus der jeweils dritten Gleichung abgeleitet werden.
Beweis:
TODO
Additionstheoreme für Sinus- und Kosinusfunktion
BearbeitenSatz:
Beweis:
TODO
Tangens und Kotangens
BearbeitenSatz:
Tangens und Kotangens sind -periodisch.
Satz:
Der Tangens ist wegen
ungerade.
Satz:
Der Kotangens ist wegen
ungerade.
Satz:
Satz:
Das Additionstheorem für Tangens lautet:
Satz:
Das Additionstheorem für Kotangens lautet:
Ungleichungen
BearbeitenSatz:
Es gilt die Ungleichung
Beweis:
TODO
Satz:
Es gilt die Ungleichung
Beweis:
TODO
Stetigkeit der Winkelfunktionen
BearbeitenSatz:
Die Funktionen , , und sind im Definitionsbereich stetig.
Satz:
Die Funktion hat an den Stellen
Pole erster Ordnung.
Satz:
Die Funktion hat an den Stellen
Pole erster Ordnung.
Beweis:
TODO
Arcus-Funktionen
BearbeitenDie Arcus-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Weben der Periodizität der trigonometrischen Funktionen sind diese nur auf Teilen der Definitionsbereiche umkehrbar.
Arcus sinus
Bearbeiten- Definition:
Der Arcus sinus ist die Umkehrfunktion des Sinus. Da der Sinus im Bereich stetig und streng monoton wachsend ist, wird der Arcus sinus wie folgt definiert:
Satz:
Die Funktion ist stetig und streng monoton wachsend.
Arcus cosinus
Bearbeiten- Definition:
Der Arcus cosinus ist die Umkehrfunktion des Kosinus. Da der Kosinus im Bereich stetig und streng monoton fallend ist, wird der Arcus cosinus wie folgt definiert:
Satz:
Die Funktion ist stetig und streng monoton fallend.
Arcus tangens
Bearbeiten- Definition:
Der Arcus tangens ist die Umkehrfunktion des Tangens. Da der Tangens im Bereich stetig ist, wird der Arcus tangens wie folgt definiert:
Satz:
Die Funktion ist stetig und streng monoton wachsend.
Satz:
Es gilt:
Die Funktion wird etwa benötigt um karthesische Koordinaten der Form in Polarkoordinaten der Form zu transformieren. Aus
folgt
Bei der Bestimmung des Winkels muss man berücksichtigen in welchem Quadrant der Punkt liegt. Ist die Nummer des Quadranten und die Gaußklammer, so gilt:
Potenzfunktionen
Bearbeitenallgemeine Potenzfunktion
Bearbeiten- Definition:
Die allgemeine Potenzfunktion mit der Basis und dem Exponenten wird als
angegeben. Dies wird auch als allgemeine Potenzfunktion zum Exponenten bezeichnet.
Der Definitionsbereich der Potenzfunktion ist vom Exponenten abhängig:
- für ist ein auf definiertes Polynom.
- für ist ein auf definierte rationale Funktion.
- für ist die Funktion gleich .
- für sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall .
- für sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall .
Satz:
Die Funktion ist im Bereich streng monoton fallend und im Bereich streng monoton wachsend.
Satz:
Die Funktion ist in ihrem Definitionsbereich stetig.
allgemeine Exponentialfunktion
Bearbeiten- Definition:
Die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis und dem Exponenten wird als
angegeben. Dies wird auch als allgemeine Exponentialfunktion zur Basis bezeichnet.
Satz:
Für die allgemeine Exponentialfunktion gilt das Multiplikationstheorem
Beweis:
TODO: siehe Rechenregeln für rationale und reelle Zahlen.
Satz:
Die Funktion ist für
- streng monoton wachsend.
- konstant.
- streng monoton fallend.
Satz:
Die allgemeine Exponentialfunktion ist auf stetig.
Beweis:
Es gelten und .
Zu einem beliebigen gibt es daher eine natürliche Zahl , so dass für der Zusammenhang
gilt.
Für folgt hieraus aufgrund der Monotonie der Exponentialfunktion der Zusammenhang
Die Funktion ist somit an der Stelle stetig.
Für schreibt man . Der Beweis erfolgt über den Satz der Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.
Für folgt die Stetigkeit durch Einsetzen von mit .
Satz:
Es gilt:
allgemeiner Logarithmus
BearbeitenDa die allgemeine Exponentialfunktion mit das Intervall streng monoton auf das Intervall abbildet, existiert eine Umkehrfunktion, welche das Intervall auf abbildet.
- Definition:
Es sei . Die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion ist definiert durch
und wird als Logarithmus zur Basis bezeichnet.
Satz:
Es gilt:
Satz:
Für Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:
- (Additionstheorem)
Beweis:
- Im Multiplikationstheorem für die allgemeine Exponentialfunktion wird der Exponent durch und der Exponent durch ersetzt. Das Additionstheorem folgt aus
- Mit folgt aus der Zusammenhang
- Ersetzt man in die Variable durch den Ausdruck , so erhält man den Zusammenhang
natürliche Exponentialfunktion und natürlicher Logartithmus
BearbeitenSatz:
Die Funktion ist auf dem gesamten Bereich stetig und streng monoton wachsend.
Satz:
Für den natürlichen Logarithmus gelten die folgenden Zusammenhänge:
- (Spezialfall: )
Satz:
Über erhält man im Definitionsbereich für den Zusammenhang .
Satz:
Es gilt
Hyperbelfunktionen
BearbeitenDer Begriff „Hyperbelfunktion“ ist darin begründet, dass die Punkte
alle auf der Hyperbel
liegen. Es handelt sich also um die Parameterdarstellung dieser Hyperbel.
Satz:
Alle Hyperbelfunktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig.
Cosinus hyperbolicus
Bearbeiten-
Cosinus hyperbolicus
Satz:
Die Funktion ist gerade.
Satz:
Die Funktion ist im Bereich streng monoton fallend und im Bereich streng monoton wachsend.
Satz:
Es gilt
Sinus hyperbolicus
Bearbeiten-
Sinus hyperbolicus
Satz:
Die Funktion ist ungerade.
Tangens hyperbolicus
Bearbeiten-
Tangens hyperbolicus
Satz:
Die Funktion ist ungerade.
Cotangens hyperbolicus
Bearbeiten-
Cotangens hyperbolicus
Satz:
Die Funktion ist ungerade.
Additionstheoreme
BearbeitenSatz:
Es gelten die folgenden Additionstheoreme:
Diese Additionstheoreme ergeben sich über die Definition der Hyperbelfunktionen aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion.
Areafunktionen
Bearbeiten- Definition:
Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen.
Area sinus hyperbolicus
BearbeitenSatz:
Die Funktion Area sinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus. Sie wird definiert durch
Beweis:
Da die Funktion auf streng monoton wachsend ist, existiert eine Umkehrfunktion. Aus den Definitionen
und
folgt
- .
Mit und anschließender Multiplikation mit erhält man die quadratische Gleichung
mit den Lösungen
- .
Da ist, gilt
- .
Daraus erhält man
- .
Area cosinus hyperbolicus
BearbeitenSatz:
Die Funktion Area cosinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cosinus hyperbolicus. Sie gilt nur im Intervall und ist definiert durch
Beweis:
Die Funktion jeden Wert zweimal an.
Auf dem Bereich ist sie streng monoton wachsend. In diesem Bereich existiert daher eine Umkehrfuktion. Aus den Definitionen
und
folgt
- .
Mit und anschließender Multiplikation mit erhält man die quadratische Gleichung
mit den Lösungen
- .
Da ist, gilt
- .
Daraus erhält man
- .
Satz:
Die Funktion ist die Umkehrfunktion von mit .
Area tangens hyperbolicus
BearbeitenSatz:
Die Funktion Area tangens hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Tangens hyperbolicus. Sie ist definiert durch
Beweis:
Die Funktion ist auf streng monoton wachsend. Es existiert daher eine Umkehrfunktion.
Aus der Definition von folgt mit die Gleichung
- .
Durch Umformen erhält man
- .
Daraus erhält man durch Logarithmieren die Gleichung
- .
Area cotangens hyperbolicus
BearbeitenSatz:
Die Funktion Area cotangens hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cotangens hyperbolicus. Sie wird definiert durch
Beweis:
TODO