Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/elementare Funktionen


Grundbegriffe

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Definition:

Der Einheitskreis ist ein Kreis in der Ebene mit einem Mittelpunkt im Ursprung   und dem Radius  .

Definition:

Ein Winkel   entspricht einem Punkt   auf dem Einheitskreis und liegt zwischen der positiven Achse in Richtung   und dem Strahl  .

Definition:

Das Bogenmaß   stellt die Länge des Kreisbogens vom Punkt mit den Koordinaten   zum Punkt   dar.

Definition:

Bei der Bestimmung des Winkels und des Bogenmaßes wird die Orientierung so gewählt, dass eine Drehung gegen den Urzeigersinn einem positiven Winkel entspricht.

Definition:

Dem ganzen Kreis entspricht ein Winkel von 360° bzw. das Bogenmaß  .

Satz:

Es gilt der Zusammenhang

 

Aufgrund der Periodizität des Kreises kann das Bogenmaß als reelle Zahl   betrachtet werden. Hierbei wird allen   derselbe Punkt   zugeordnet. Durch den Zusammenhang   gilt dies analog auch für den Winkel. Eine Änderung des Bogenmaßes um   ( ) entspricht hierbei einem Umlauf auf dem Einheitskreis.

trigonometrische Funktionen

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Sinus und Kosinus

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Definition:

Die Kosinusfunktion   und die Sinusfunktion   werden wie folgt definiert:

  1.  
  2.  

Hierbei ist   der dem Bogenmaß   entsprechende Punkt   im Einheitskreis.

Satz:

Da das Bogenmaß    -periodisch ist, sind auch   und    -periodisch.

Beweis:

  1.  
  2.  

Satz:

Es gelten zudem die folgenden Zusammenhänge:

  •  
  •  
  •  
  •  

Satz:

Für die Nullstellen gilt:

  •   hat die Nullstellen
     
  •   hat die Nullstellen
     

Satz:

  •   ist ungerade:
     
  •   ist gerade:
     

Satz:

  •  

Satz:

  •  
  •  
Wichtige Winkel
     
     
     
     
     
     
Vorzeichen in den einzelnen Quadranten
Quadrant    
     
     
     
     

Sinussatz

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Satz:

Der Sinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten  ,   und  , sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln  ,   und   der Zusammenhang

 

gilt.

Beweis:

  1. Sei   die Höhe des Dreiecks durch den Punkt  , welche normal auf die Seite   steht. Der Punkt   sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten   und  . Aus   und   folgt  .
  2. Sei   die Höhe des Dreiecks durch den Punkt  , welche normal auf die Seite   steht. Der Punkt   sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten   und  . Aus   und   folgt  .
  3. Sei   die Höhe des Dreiecks durch den Punkt  , welche normal auf die Seite   steht. Der Punkt   sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten   und  . Aus   und   folgt  .

Durch Gleichsetzen erhält man den Sinussatz. Einer der in diesem Beweis genannten Sätze ist hierbei redundant und kann für die Beweisführung entfallen.

Kosinussatz

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Satz:

Der Kosinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten  ,   und  , sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln  ,   und   die Zusammenhänge

  1.  
  2.  
  3.  

gelten. Hierbei können jeweils zwei dieser Gleichungen aus der jeweils dritten Gleichung abgeleitet werden.

Beweis:

TODO

Additionstheoreme für Sinus- und Kosinusfunktion

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Satz:

 

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  

Beweis:

TODO

Tangens und Kotangens

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Definition:

Der Tangens   ist wie folgt definiert:

  •  

oder

  •  
Definition:

Der Kotangens   ist wie folgt definiert:

  •  

oder

  •  

Satz:

Tangens und Kotangens sind  -periodisch.

Satz:

Der Tangens ist wegen

 

ungerade.

Satz:

Der Kotangens ist wegen

 

ungerade.

Satz:

 

Satz:

Das Additionstheorem für Tangens lautet:

 

Satz:

Das Additionstheorem für Kotangens lautet:

 
Wichtige Winkel
     
     
     
     
     
     

Ungleichungen

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Satz:

Es gilt die Ungleichung

 

Beweis:

TODO

Satz:

Es gilt die Ungleichung

 

Beweis:

TODO

Stetigkeit der Winkelfunktionen

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Satz:

Die Funktionen  ,  ,   und   sind im Definitionsbereich stetig.

Satz:

Die Funktion   hat an den Stellen

 

Pole erster Ordnung.

Satz:

Die Funktion   hat an den Stellen

 

Pole erster Ordnung.

Beweis:

TODO

Arcus-Funktionen

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Die Arcus-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Weben der Periodizität der trigonometrischen Funktionen sind diese nur auf Teilen der Definitionsbereiche umkehrbar.

Arcus sinus

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Definition:

Der Arcus sinus ist die Umkehrfunktion des Sinus. Da der Sinus im Bereich   stetig und streng monoton wachsend ist, wird der Arcus sinus wie folgt definiert:

 

Satz:

Die Funktion   ist stetig und streng monoton wachsend.

Arcus cosinus

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Definition:

Der Arcus cosinus ist die Umkehrfunktion des Kosinus. Da der Kosinus im Bereich   stetig und streng monoton fallend ist, wird der Arcus cosinus wie folgt definiert:

 

Satz:

Die Funktion   ist stetig und streng monoton fallend.

Arcus tangens

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Definition:

Der Arcus tangens ist die Umkehrfunktion des Tangens. Da der Tangens im Bereich   stetig ist, wird der Arcus tangens wie folgt definiert:

 

Satz:

Die Funktion   ist stetig und streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt:

 

Die Funktion   wird etwa benötigt um karthesische Koordinaten der Form   in Polarkoordinaten der Form   zu transformieren. Aus

 

folgt

 

Bei der Bestimmung des Winkels   muss man berücksichtigen in welchem Quadrant der Punkt   liegt. Ist   die Nummer des Quadranten und   die Gaußklammer, so gilt:

 

Potenzfunktionen

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allgemeine Potenzfunktion

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Definition:

Die allgemeine Potenzfunktion mit der Basis   und dem Exponenten   wird als

 

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Potenzfunktion zum Exponenten   bezeichnet.

Der Definitionsbereich der Potenzfunktion ist vom Exponenten abhängig:

  • für   ist   ein auf   definiertes Polynom.
  • für   ist   ein auf   definierte rationale Funktion.
  • für   ist die Funktion gleich  .
  • für   sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall  .
  • für   sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall  .

Satz:

Die Funktion   ist im Bereich   streng monoton fallend und im Bereich   streng monoton wachsend.

Satz:

Die Funktion   ist in ihrem Definitionsbereich stetig.

allgemeine Exponentialfunktion

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Definition:

Die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis   und dem Exponenten   wird als

 

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Exponentialfunktion zur Basis   bezeichnet.

Satz:

Für die allgemeine Exponentialfunktion gilt das Multiplikationstheorem

 

Beweis:

TODO: siehe Rechenregeln für rationale und reelle Zahlen.

Satz:

Die Funktion   ist für

  1.   streng monoton wachsend.
  2.   konstant.
  3.   streng monoton fallend.

Satz:

Die allgemeine Exponentialfunktion ist auf   stetig.

Beweis:

Es gelten   und  .

Zu einem beliebigen   gibt es daher eine natürliche Zahl  , so dass für   der Zusammenhang

 

gilt.

Für   folgt hieraus aufgrund der Monotonie der Exponentialfunktion der Zusammenhang

 

Die Funktion   ist somit an der Stelle   stetig.


Für   schreibt man  . Der Beweis erfolgt über den Satz der Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.


Für   folgt die Stetigkeit durch Einsetzen von   mit  .

Satz:

Es gilt:

  1.  
     
     
  2.  
     
     

allgemeiner Logarithmus

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Da die allgemeine Exponentialfunktion   mit   das Intervall   streng monoton auf das Intervall   abbildet, existiert eine Umkehrfunktion, welche das Intervall   auf   abbildet.

Definition:

Es sei  . Die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion   ist definiert durch

 

und wird als Logarithmus zur Basis   bezeichnet.

Satz:

Es gilt:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Satz:

Für Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:

  1.   (Additionstheorem)
  2.  
  3.  

Beweis:

  1. Im Multiplikationstheorem für die allgemeine Exponentialfunktion   wird der Exponent   durch   und der Exponent   durch   ersetzt. Das Additionstheorem folgt aus
     
  2. Mit   folgt aus   der Zusammenhang
     
  3. Ersetzt man in   die Variable   durch den Ausdruck  , so erhält man den Zusammenhang
     

natürliche Exponentialfunktion und natürlicher Logartithmus

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Definition:

Die Funktion   bzw.   wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.

 

Satz:

Die Funktion   ist auf dem gesamten Bereich   stetig und streng monoton wachsend.

Definition:

Die Umkehrfunktion von   ist   und wird als natürlicher Logarithmus bezeichnet.

 

Satz:

Für den natürlichen Logarithmus gelten die folgenden Zusammenhänge:

  1.  
  2.   (Spezialfall:  )
  3.  

Satz:

Über   erhält man im Definitionsbereich   für   den Zusammenhang  .

Satz:

Es gilt

 

Hyperbelfunktionen

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Der Begriff „Hyperbelfunktion“ ist darin begründet, dass die Punkte

 

alle auf der Hyperbel

 

liegen. Es handelt sich also um die Parameterdarstellung dieser Hyperbel.

Satz:

Alle Hyperbelfunktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig.

Cosinus hyperbolicus

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Definition:

Der Cosinus hyperbolicus wird definiert über

 

Satz:

Die Funktion   ist gerade.

Satz:

Die Funktion   ist im Bereich   streng monoton fallend und im Bereich   streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Sinus hyperbolicus

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Definition:

Der Sinus hyperbolicus wird definiert über

 

Satz:

Die Funktion   ist ungerade.

Tangens hyperbolicus

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Definition:

Der Tangens hyperbolicus wird definiert über

 

Satz:

Die Funktion   ist ungerade.

Cotangens hyperbolicus

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Definition:

Der Cotangens hyperbolicus wird definiert über

 

Satz:

Die Funktion   ist ungerade.

Additionstheoreme

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Satz:

Es gelten   die folgenden Additionstheoreme:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Diese Additionstheoreme ergeben sich über die Definition der Hyperbelfunktionen aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion.

Areafunktionen

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Definition:

Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen.

Area sinus hyperbolicus

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Satz:

Die Funktion Area sinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus. Sie wird definiert durch

 

Beweis:

Da die Funktion   auf   streng monoton wachsend ist, existiert eine Umkehrfunktion. Aus den Definitionen

 

und

 

folgt

 .

Mit   und anschließender Multiplikation mit   erhält man die quadratische Gleichung

 

mit den Lösungen

 .

Da   ist, gilt

 .

Daraus erhält man

 .

Area cosinus hyperbolicus

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Satz:

Die Funktion Area cosinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cosinus hyperbolicus. Sie gilt nur im Intervall   und ist definiert durch

 

Beweis:

Die Funktion   jeden Wert   zweimal an.

Auf dem Bereich   ist sie streng monoton wachsend. In diesem Bereich existiert daher eine Umkehrfuktion. Aus den Definitionen

 

und

 

folgt

 .

Mit   und anschließender Multiplikation mit   erhält man die quadratische Gleichung

 

mit den Lösungen

 .

Da   ist, gilt

 .

Daraus erhält man

 .

Satz:

Die Funktion   ist die Umkehrfunktion von   mit  .

Area tangens hyperbolicus

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Satz:

Die Funktion Area tangens hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Tangens hyperbolicus. Sie ist definiert durch

 

Beweis:

Die Funktion   ist auf   streng monoton wachsend. Es existiert daher eine Umkehrfunktion.

Aus der Definition von   folgt mit   die Gleichung

 .

Durch Umformen erhält man

 .

Daraus erhält man durch Logarithmieren die Gleichung

 .

Area cotangens hyperbolicus

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Satz:

Die Funktion Area cotangens hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cotangens hyperbolicus. Sie wird definiert durch

 

Beweis:

TODO