Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Reelle Zahlen

Der Kurs

Grundlagen
rationale Zahlen
reelle Zahlen
komplexe Zahlen
Zahlenfolgen
Reihen
reelle Funktionen
Polynome und rationale Funktionen
elementare Funktionen
Differenzialrechnung
lokales und globales Verhalten von Funktionen
Iterationsverfahren
Integralrechnung
Potenzreihen
Vektorräume
Matrizen und lineare Gleichungssysteme
Determinanten
Skalarprodukt und Orthogonalität
Eigenwertproblem
Differenzialrechnung im ℝⁿ
Koordinantentransformationen
Integralrechnung im ℝⁿ
Wahrscheinlichkeitstheorie
Statistik
Logik
Mengen
Algebra
metrische Räume
lineare Funktionalanalysis

Übungen

Lerngruppe(n)

Weblinks und Literatur

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Einführung in die reellen Zahlen

Die Zahlengerade ist kontinuierlich. Auf dieser finden sich die natürlichen Zahlen ${}_{x\in \mathbb {N} }$, sowie die rationalen Zahlen ${}_{x\in \mathbb {Q} }$ mit ${}_{\mathbb {N} \subset \mathbb {Q} }$. Bereits in der Antike wurde anhand des Lehrsatzes des Pythagoras festgestellt, dass es Zahlen gibt, welche sich nicht in ${}_{\mathbb {Q} }$ befinden. Die Definition dieser Zahlen stellte bis zum 19. Jahrhundert ein ungelöstes Problem dar.

Satz:

$x={\sqrt {2}}\Leftrightarrow x^{2}=2\rightarrow x\notin \mathbb {Q}$

Beweis:

Der indirekte Beweis folgt aus der Annahme einer Zahl ${}_{c}$ mit

$\forall p,q\in \mathbb {N} \land \left(\operatorname {ggT} (p,q)=1\right):\ \exists c\in \mathbb {Q} :\ c={\frac {p}{q}}$.

Daraus lassen sich die folgenden Schlüsse ziehen:

$\left(c^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}=2\right)$

$\Rightarrow p^{2}=2\,q^{2}$

$\Rightarrow r\in \mathbb {N} :\ p=2\,r$

$\Rightarrow 2^{2}\,r^{2}=2\,q^{2}$

$\Rightarrow 2\,r^{2}=q^{2}$

$\Rightarrow \operatorname {ggT} (p,q)>1$.

Die ursprüngliche Annahme der Teilerfremdheit ${}_{\operatorname {ggT} (p,q)=1}$ wurde dadurch widerlegt, weshalb ${}_{c\notin \mathbb {Q} }$.

Definition:

Zahlen die nicht rational sind

$x\notin \mathbb {Q}$

werden als irrationale Zahlen bezeichnet.

Definition:

Die Menge der reellen Zahlen

$x\in \mathbb {R}$

ist die Vereinigungsmenge aller rationalen und aller irrationalen Zahlen. Die reellen Zahlen liegen beliebig dicht beisammen und repräsentieren daher alle Punkte auf der Zahlengeraden.

Satz:

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar mächtig.

Beweis:

Zweites Cantor`sches Diagonalverfahren