Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Zahlenfolgen

Der Kurs

Grundlagen
rationale Zahlen
reelle Zahlen
komplexe Zahlen
Zahlenfolgen
Reihen
reelle Funktionen
Polynome und rationale Funktionen
elementare Funktionen
Differenzialrechnung
lokales und globales Verhalten von Funktionen
Iterationsverfahren
Integralrechnung
Potenzreihen
Vektorräume
Matrizen und lineare Gleichungssysteme
Determinanten
Skalarprodukt und Orthogonalität
Eigenwertproblem
Differenzialrechnung im ℝⁿ
Koordinantentransformationen
Integralrechnung im ℝⁿ
Wahrscheinlichkeitstheorie
Statistik
Logik
Mengen
Algebra
metrische Räume
lineare Funktionalanalysis

Übungen

Lerngruppe(n)

Weblinks und Literatur

Grenzwerte

Definition:

Eine Folge reeller Zahlen ${}_{a\in \mathbb {R} }$ ist eine Abbildung ${}_{a:\ \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} }$. Anstatt von

$n\in \mathbb {N} :\ a(n)=a(1),a(2),a(3),\ldots$

schreibt man die Folge meist mit Indizes als

$n\in \mathbb {N} :\ \left\{a_{n}\right\}=a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$.

Die Zahlen ${}_{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ werden als Glieder der Folge bezeichnet. Der Ausdruck ${}_{a_{n}}$ wird als allgemeines Glied bezeichnet.

Definition:

Eine Folge komplexer Zahlen wird analog als eine Abbildung ${}_{a:\ \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ definiert.

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ wird als konvergent mit dem Granzwert ${}_{a}$ bezeichnet, wenn ${}_{\forall \epsilon >0}$ eine Zahl ${}_{N(\epsilon )}$ existiert, so dass ${}_{\forall n\in \mathbb {N} }$ mit ${}_{n\geq N(\epsilon )}$ der Zusammenhang ${}_{\left|a_{n}-a\right|<\epsilon }$ gilt.

In diesem Fall schreibt man

$\lim \limits _{x\rightarrow \infty }a_{n}=a$

Definition:

Eine Folge, welche nicht konvergent ist, wird als divergent bezeichnet.

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ wird als Nullfolge bezeichnet, wenn

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

gilt.

Satz:

Werden endlich viele Glieder einer Folge geändert, so wird die Konvergenz und der Grenzwert beibehalten.

Satz:

Für zwei Folgen ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ und ${}_{\left\{b_{n}\right\}}$ gelten die folgenden Rechenoperationen:

1. Summenfolge

   $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$

2. Differenzfolge

   $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$

3. Produktfolge

   $\left\{a_{n}\,b_{n}\right\}$

4. Quotientenfolge

   $\forall b_{n}\neq 0:\ \left\{{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right\}$

Satz:

Sind zwei Folgen ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ und ${}_{\left\{b_{n}\right\}}$ mit ${}_{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}=a}$ und ${}_{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }b_{n}=b}$ konvergent, so sind auch deren Summe, Differenz und Produkt konvergent. Dies gilt auch für den Quotient, wobei allerdings der Nenner nicht Null werden darf. Es gilt daher:

1. $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left(a_{n}\pm b_{n}\right)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}\pm \lim \limits _{n\rightarrow \infty }b_{n}=a\pm b$
2. $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left(a_{n}\,b_{n}\right)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}\,\lim \limits _{n\rightarrow \infty }b_{n}=a\,b$
3. $\forall n\in \mathbb {N} :\ \left(b_{n}\neq 0\right)\land \left(\lim \limits _{n\rightarrow \infty }b_{n}\neq 0\right):\ \lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }b_{n}}}={\frac {a}{b}}$

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ wird als Cauchyfolge bezeichnet, wenn der Zusammenhang

$\forall \epsilon >0:\ \exists i=N\left(\epsilon \right):\ \forall m,n\geq i:\ \left|a_{m}-a_{n}\right|<\epsilon$

gilt.

Eine Folge ist also dann eine Cauchyfolge, wenn für größer werdende Indizes (${}_{i=N\left(\epsilon \right)}$ und ${}_{m,n\geq i}$) die Differenz der Werte der Glieder dieser Folge ${}_{\left|a_{m}-a_{n}\right|}$ beliebig kleiner (${}_{\left|a_{m}-a_{n}\right|<\epsilon }$), jedoch nicht Null (${}_{\epsilon >0}$), wird.

Beispiel:

Die Folge ${}_{a_{n}={\frac {1}{n}}}$ ist eine Cauchyfolge.

Beweis:

Es muss der Zusammenhang

$\forall \epsilon >0:\ \exists i=N\left(\epsilon \right):\ \forall m,n\geq i:\ \left|a_{m}-a_{n}\right|=\left|{\frac {1}{m}}-frac{1}{n}\right|<\epsilon$

erfüllt werden.

Es wird angenommen, dass ${}_{a_{m}<a_{n}}$ gilt. Es gilt daher der Zusammenhang

$\left|a_{m}-a_{n}\right|\leq \left|{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}\right|\leq {\frac {2}{m}}$.

Deshalb ist

$\left|a_{m}-a_{n}\right|<\epsilon$

wenn

$m>{\frac {2}{\epsilon }}$.

Daraus folgt

$N(\epsilon )={\frac {2}{\epsilon }}$.

Satz:

Das Konvergenzkriterium von Cauchy besagt, dass für eine Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ mit ${}_{\forall a_{n}\in \mathbb {R} }$ genau dann konvergent ist, wenn die Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ eine Cauchyfolge ist.

Beweis:

Aus

$\left|a_{n}-a_{m}\right|\leq \left|a-a_{n}\right|+\left|a-a_{m}\right|$

folgt, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist.

Beweis:

TODO: Beweis mit Umkehrung (Satz von Bolzano-Weierstraß)

Satz:

Es folgt aus der Vollständigkeit in ${}_{\mathbb {R} }$, dass jede Cauchyfolge in ${}_{\mathbb {R} }$ mit einem Grenzwert in ${}_{\mathbb {R} }$ konvergiert.

Monotone Folgen

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ wird als monoton wachsend bezeichnet, wenn

$\forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}\leq a_{n+1}$

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ wird als streng monoton wachsend bezeichnet, wenn

$\forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}<a_{n+1}$

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ wird als monoton fallend bezeichnet, wenn

$\forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}\geq a_{n+1}$

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ wird als streng monoton fallend bezeichnet, wenn

$\forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}>a_{n+1}$

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ wird als nach oben beschränkt bezeichnet, wenn es eine Konstante ${}_{C}$ gibt mit welcher

$\forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}\leq C$

gilt.

Definition:

Eine Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$ wird als nach unten beschränkt bezeichnet, wenn es eine Konstante ${}_{C}$ gibt mit welcher

$\forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}\geq C$

gilt.

Satz:

Der Hauptsatz über monotone Folgen besagt, dass für

1. eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$
   1. konvergent ist
   2. $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\sup \left\{a_{n}\left|n\in \mathbb {N} \right.\right\}$ gilt
2. eine monoton fallende und nach ungen beschränkte Folge ${}_{\left\{a_{n}\right\}}$
   1. konvergent ist
   2. $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\inf \left\{a_{n}\left|n\in \mathbb {N} \right.\right\}$ gilt.

Merke

$\forall q\in \left]-1,1\right[:\ \lim \limits _{n\rightarrow \infty }q^{n}=0$

Einschließungsprinzip

Satz:

der Satz über das Einschließungsprinzip besagt, dass wenn die Folgen ${}_{\{a_{n}\}}$ und ${}_{\{b_{n}\}}$ gegen den selben Grenzwert ${}_{a}$ konvergieren, auch die Folge ${}_{\{c_{n}\}}$ mit

$\forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$

konvergent gegen ${}_{a}$ ist.

Merke

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n\,}]{n}}=1$

Merke

$\forall q\in \mathbb {R} ^{+}:\ \lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n\,}]{q}}=1$

Definition:

Der Grenzwert

$e:=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

ist die Euler`sche Zahl.

Definition:

Eine Folge ${}_{\{a_{n}\}}$ ist konvergent gegen Unendlich, wenn

$\forall i\in \mathbb {R} _{+}:\ \exists j=\operatorname {N} (i):\ \forall n\geq j:\ a_{n}\geq i$

Definition:

Eine Folge ${}_{\{a_{n}\}}$ ist konvergent gegen minus Unendlich, wenn

$\forall i\in \mathbb {R} _{+}:\ \exists j=\operatorname {N} (i):\ \forall n\geq j:\ a_{n}\leq i$