Kurs:Mathematik für Elektrotechnik


	Stufe: Universität

Geplante Inhalte

Komplexe Zahlen
- Rechengesetze für komplexe Zahlen
- Polarform der komplexen Zahlen
- Wurzeln mit komplexen Zahlen
Zahlenfolgen
- Grenzwerte
- Monotone Folgen
- Einschließungsprinzip
Reihen
- Reihen und Konvergenz
  - Konvergenzkriterien für Reihen
- Multiplikation von Reihen
- Reihen mit komplexen Gliedern
Reelle Funktionen
- Stetigkeit reeller Funktionen
- Umkehrfunktionen reeller Funktionen
Polynome und rationale Funktionen
- Nullstellen von Polynomen
- Horner-Schema
- algebraische Gleichungen
- Polynominterpolation
- rationale Funktionen
Differenzialrechnung
- Differenzenquotient und Ableitung
- lineare Approximation; Tangente
- Zeit; Ort; Geschwindigkeit
- Regeln der Differenzialrechnung
- Mittelwertsätze der Differentialrechnung
- Regeln von de l'Hospital
- höhere Ableitungen
Lokales und globales Verhalten von Funktionen
- Taylor`scher Lehrsatz
- Maximum; Minimum
- asymptotisches Verhalten
- Kurven
Iterationsverfahren
- Fixpunktsatz
- Newtonverfahren
Integralrechnung
- Riemann-Integrale
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Stammfunktionen
- partielle Integration
- Substitutionsregel
- besondere Integrale
- uneigentliche Integrale
Potenzreihen
- Konvergenz von Potenzreihen
- Rechnen mit Potenzreihen
- Taylorreihen und elementare Funktionen
Vektorräume
- Linearkombination
- lineare Abhängigkeit
- Basis
- Dimension
- Koordinaten
Matrizen und lineare Gleichungssyteme
- Matrizen
- Multiplikation von Matrizen
- Rang einer Matrix
- Lineare Gleichungssyteme
- Inverse einer Matrix
- Matrizen und lineare Abbildungen
- Koordinatentransformation
Determinanten
- Definition von Determinanten
- Existenz und Eindeutigkeit von Determinanten
- Berechnung von Determinanten
- Rechenregeln für Determinanten
- Orientierung, Fläche und Volumen mit Determinanten
- Entwicklungssatz für Determinanten
- Inverse einer Matrix
- Cramer`sche Regel
Skalarprodukt und Orthogonalität
- Skalarprodukt
- Norm, Länge und Winkel
- Orthogonalität
- Quadratische Formen
- Skalarprodukt udn lineare Abbildungen
- orthogonale Matrizen
Eigenwertproblem
- Eigenwertproblem für n×n-Matrizen
- diagonalähnliche Matrizen
- Jordan`sche Normalform
- Eigenwerte besonderer Matrizen
- Hauptachsentransformation
- Quadriken
Differenzialrechnung im ${}_{\mathbb {R} ^{n}}$
- Grundbegriffe
- Notation
- Folgen im ${}_{\mathbb {R} ^{n}}$
- Funktionen von n Veränderlichen
- Stetigkeit
- partielle Ableitungen
- Differenzierbarkeit
- Taylor`sche Formel
- Extremwerte von Funktionen
- Umkehrfunktion
- Invertierbarkeit
- Newton-Verfahren
- Implizite Funktionen
- Extremwerte unter Nebenbedingungen
Koordinantentransformationen
- Spezielle Koordinatentransformationen
- geometrische Aspekte
- Transformation von Differenzialausdrücken
Integralrechnung im ${}_{\mathbb {R} ^{n}}$
- Parameterintegrale
- Integrale auf Intervallen
- Iterierte Integrale
- Integrale auf beschränkten Mengen
- Inhalt von Mengen
- Kriterien für die Integrierbarkeit
- Eigenschaften von Mehrfachintegralen
- Berechnung von Integralen
- Substitutionsregel
- Uneigentliche Bereichsintegrale
Wahrscheinlichkeitstheorie
- empirische und mathematische Wahrscheinlichkeit; W-Maße
  - relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
  - bedingte Wahrscheinlichkeit und Ereignisgraphen
  - totale Wahrscheinlichkeit; Formel von Bayes
  - Unabhängigkeit von Ereignisen
- Zuvallsvariable und Verteilungen
  - Zufallsvariable
  - Histogramm und Verteilung von Zufallsvariablen
  - Erwartungswert, Varianz, Schiefe
  - Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
  - bedingter Erwartungswert und Randverteilungen
  - gebräuchliche Zufallsvariablen und Verteilungen
- Approximation von mathematischer durch empirische Wahrscheinlichkeit
  - Ungleichung von Tschebischeff
  - Bernoulliexperiment
  - Gesetz großer Zahlen
  - zentraler Grenzwertsatz
Statistik
- Hauptsatz der Statistik
- Schätz- und Testverfahren
  - Parameterschätzung
  - Intervallschätzung
  - statistische Testverfahren
  - Kovarianz und lineare Regression
Logik
- Aussagenlogik
- Prädikatenlogik
Mengen
- Elemente und Teilmengen
- allgemeine Vereinigung und Durchschnitt
  - Partition
  - Potenzmengen
  - Produktemengen
- Relationen
  - Äquivalenzrealtion
  - Halbordnung
  - Quotientenmenge
  - Schnitt
- Funktionen und Abbildungen
Algebra
- Formale Sprachen und Rudimente
  - Termersetzung
  - Chomsky-Grammatik
- Halbgruppen, Gruppen und Wirkungen
  - Kongruenzen und Homomorphismen von Halbgruppen, Gruppen und Wirkungen
  - Untergruppen, Unterhalbgruppen, Nebenklassenzerlegung und Normalteiler
  - Halbgruppen mit Kürzungseigenschaft und Erweiterung zu Gruppe von Quotienten
- Ringe und Körper
  - Abstrakte Polynomdefinition als Terme
  - Ringe von Quotienten im Integritätsbereich
  - Kongruenzen in kommutativen Ringen mit Einselement
  - Ideale
  - kommutativer Polynomring
  - algebraische Körpererweiterung
  - endliche Körper
metrische Räume
- Konvergenz
- Fixpunktsatz von Banach
- offene, abgeschlosene, beschränkte, dichte und kompakte Teilmengen eines metrischen Raumes
- Appromimationssatzvon Stone-Weierstraß
lineare Funktionalanalysis
- Vektorräume
  - Axiome
  - Teilraum
  - Quotientenraum
  - Komplementärraum
  - lineare Hülle
  - Unabhängigkeit
  - Basen
  - Dimension
  - lineare Abbildungen
  - Kern
  - Bild
  - Rang
  - Dualraum und Dualität
- normierte lineare Räume; Banachräume
  - Norm
  - Vollständigkeit
  - abgeschlossene Teilräume
  - Dimension
  - LP- und lp-Normen
  - Soboleffnormen
- stetige lineare Operatoren
  - Stetigkeit, Beschränktheit
  - Operatornorm
  - Dualraum und topologischer Dualraum
  - kompakte Operatoren
- Hilberträume
  - inneres Produkt
  - Prähilbertraum
  - Vollständigkeit
  - Orthonormalsysteme