Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Kähler-Differentiale und Jacobi-Matrix}
\inputfaktbeweis
{Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
es sei $A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ A/I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Sequenz
\mathdisp {I/I^2 \longrightarrow \Omega_{ A {{|}} R } \otimes_{ A } B \longrightarrow \Omega_{ B {{|}} R } \longrightarrow 0} { }
von $B$-Moduln
\definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {Dabei geht
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{da \otimes 1}{} und $da \otimes b$ auf $b da$.}
\faktzusatz {}
}
{
Die $R$-lineare Abbildung
\maabbeledisp {} {A} { \Omega_{ A {{|}} R }
} {a} {da
} {,}
kann man auf das Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einschränken. Durch Tensorieren mit
\mathl{A/I}{} erhält man unter Verwendung von
Proposition Anhang 6.9 (2)
die $A/I$-lineare Abbildung
\maabbdisp {} {I/I^2 \cong I \otimes_{ A } A/I} { \Omega_{ A {{|}} R } \otimes_{ A } A/I
} {.}
Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der
$B$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{\Omega_{B {{|}} R}}{} von den
\mathbed {db} {}
{b \in B} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
wird und diese von
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {}
herrühren. Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geht auf $da$ und damit auf $0$ in
\mathl{\Omega_{B {{|}} R}}{,} da das Element $a$ in $B$ selbst $0$ wird.
Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in} { \Omega_{ A {{|}} R } \otimes_{ A } B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Element, das in
\mathl{\Omega_{ B {{|}} R }}{} auf $0$ abbildet. Wir können
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n da_i \otimes b_i
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n da_i \otimes \overline{c}_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i,c_i
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Da es auf $0$ in
\mathl{\Omega_{B {{|}} R}}{} abbildet, gilt in dem von den Symbolden
\mathbed {db} {}
{b \in B} {}
{} {} {} {,}
erzeugten
\definitionsverweis {freien}{}{}
$B$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n c_i da_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^m h_j \omega_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h_j
}
{ \in }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die $\omega_j$ Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ dfg
}
{ = }{ fdg+ gdf
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(rf+sg )
}
{ = }{rdf+ sdg
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Der angesprochene freie $B$-Modul entsteht aus dem durch die
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {,}
erzeugten freien $A$-Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus $I$ und die $dI$ zu $0$ macht. Somit gilt in diesem freien $A$-Modul
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n c_i da_i - \sum_{j = 1}^m h_j \omega_j
}
{ =} { \sum_{k = 1}^\ell m_k dn_k + du
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m_k
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_k
}
{ \in }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In
\mathl{\Omega_{A {{|}} R} \otimes_{ R } B}{} wird
\mathl{\sum_{k = 1}^\ell m_k dn_k}{} wegen der Tensorierung zu $0$ und daher gilt dort in der Tat
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n c_i da_i
}
{ =} {du
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und es sei $A$ eine kommutative
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
die als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} {R[X_1 , \ldots , X_n]/(F_1 , \ldots , F_k)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A {{|}} R }
}
{ =} { \bigoplus_{i = 1}^n AdX_i /( dF_1 , \ldots , dF_k )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 12.5 und Lemma 13.1.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und es sei $A$ eine kommutative
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
die als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{R[X_1 , \ldots , X_n]/(F_1 , \ldots , F_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sei. Dann ist
nach Lemma 12.4 (4)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d F_j
}
{ =} { { \frac{ \partial F_j }{ \partial X_1 } } dX_1 + \cdots + { \frac{ \partial F_j }{ \partial X_n } } dX_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nach
Korollar 13.2
gibt es eine
\definitionsverweis {exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {A^k \stackrel{M}{\longrightarrow} A^n \longrightarrow \Omega_{ A {{|}} R } \longrightarrow 0} { , }
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial F_1 }{ \partial X_1 } } & \ldots & { \frac{ \partial F_{k} }{ \partial X_1 } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial F_1 }{ \partial X_n } } & \ldots & { \frac{ \partial F_{k} }{ \partial X_n } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die transponierte
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
\zusatzklammer {ohne Auswertung an einem Punkt} {} {}
ist. Die Standardvektoren $e_j$ werden auf
\mathl{dX_j}{} abgebildet und die Spaltenvektoren
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ \partial F_j }{ \partial X_1 } } \\ \vdots\\ { \frac{ \partial F_j }{ \partial X_n } } \end{pmatrix}}{,} die die Nullelemente
\mathl{dF_j}{} repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.
}
Zu einer
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_n ]/(f_1 , \ldots , f_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(a_1 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{V
}
{ = }{ V(f_1 , \ldots , f_m)
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit zugehörigem maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak m}_P
}
{ \subseteq }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Lokalisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {A_{ {\mathfrak m}_P}
}
{ =} { {\mathcal O}_{V,P}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{R {{|}} K}
}
{ =} { \Omega_{A {{|}} K} \otimes_{ A } R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und die Tensorierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } K
}
{ =} { \Omega_{A {{|}} K} \otimes_{ A } K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zur Restekörperauswertung
\mathdisp {A \longrightarrow A_{\mathfrak m} \longrightarrow A_{\mathfrak m}/ {\mathfrak m}A_{\mathfrak m} =K} { }
spielt eine besondere Rolle. Es ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Dualraum des
\definitionsverweis {extrinsischen Tangentialraumes}{}{}
von $V$ an $P$. Das bedeutet, dass
\mathl{\Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } K}{} in natürlicher Weise der
\definitionsverweis {Kotangentialraum}{}{}
im Punkt $P$ ist.
\inputfaktbeweis
{Kähler-Differentiale/Gleichungen/Extrinsischer Kotangentialraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_n ]/(f_1 , \ldots , f_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(a_1 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{V
}
{ = }{ V(f_1 , \ldots , f_m)
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt des zugehörigen Nullstellengebildes mit zugehörigem maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak m}_P
}
{ \subseteq }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {A_{\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
zu $V$ in $P$ in kanonischer Weise der
\definitionsverweis {duale Vektorraum}{}{}
zu
\mathl{\Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } K}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Bemerkung 12.9
gibt es eine
\definitionsverweis {exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {A^m \stackrel{M}{\longrightarrow} A^n \longrightarrow \Omega_{ A {{|}} K } \longrightarrow 0} { , }
wobei
\mathl{M}{} die
\definitionsverweis {transponierte}{}{}
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
zu den $f_i$ ist. Wir tensorieren mit dem Restekörper $K$ und erhalten eine exakte Sequenz
\mathdisp {K^m \stackrel{M(P)}{\longrightarrow} K^n \longrightarrow \Omega_{ A {{|}} K } \otimes_{ A } K \longrightarrow 0} { }
von endlichdimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{.}
Die
\definitionsverweis {duale Sequenz}{}{}
dazu ist
\mathdisp {0 \longrightarrow { \left( \Omega_{ A {{|}} K } \otimes_{ A } K \right) }^{ * } \longrightarrow K^n \stackrel{ \operatorname{Jac} (P)}{\longrightarrow} K^m} { }
und ebenfalls exakt. Nach
Definition 3.18
ist aber der Kern der Jacobi-Matrix im Punkt $P$ der Tangentialraum an $V$ in $P$.
\inputfaktbeweis
{Kähler-Differentiale/Lokaler Ring/Kotangentialraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $R$ eine
\definitionsverweis {lokale}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und es sei die Gesamtabbildung
\mathdisp {K \longrightarrow R \longrightarrow R/ {\mathfrak m}} { }
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^2 } { \Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m}
} { [f]} { df \otimes 1
} {,}
ein
$R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 13.1
liegt eine exakte Sequenz
\mathdisp {{\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^2 \longrightarrow \Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m} \longrightarrow \Omega_{ R/ {\mathfrak m} {{|}} K} \longrightarrow 0} { }
von
$R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{}
vor. Nach Voraussetzung ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/ {\mathfrak m}
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R/ {\mathfrak m} {{|}} K}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die
$R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {duale Abbildung}{}{,}
also die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ R/ {\mathfrak m} } { \left( \Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m} , R/ {\mathfrak m} \right) } } { \operatorname{Hom}_{ R/ {\mathfrak m} } { \left( {\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^2 , R/ {\mathfrak m} \right) }
} {\varphi} { \varphi \circ d
} {,}
und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist
\zusatzklammer {es geht um Vektorräume} {} {.}
Der linke Homomorphismenmodul ist nach
Lemma Anhang E.11.
und
Lemma 12.3
isomorph zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom}_{ R } { \left( \Omega_{R {{|}} K} , R/ {\mathfrak m} \right) }
}
{ \cong} { \operatorname{Der}_{ K } { \left( R , R/ {\mathfrak m} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Gesamtabbildung ordnet einer $K$-Derivation
\maabb {\delta} {R} { R /{\mathfrak m}
} {}
die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2 } { R/ {\mathfrak m}
} {[f]} { \delta(f)
} {,}
zu. Es sei nun
\maabbeledisp {} { {\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2 } { R/ {\mathfrak m}
} {[f]} { \epsilon (f)
} {,}
ein $R/ {\mathfrak m}$-Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung
\maabbeledisp {\delta} {R} { R / {\mathfrak m}
} {f} { \epsilon (f- \overline{f})
} {,}
wobei $\overline{f}$ den Wert von $f$ im Restklassenkörper $R/ {\mathfrak m}$ bezeichnet, den man über die Identifizierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{R/{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wieder in $R$ auffasst. Somit gehört
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f- \overline{f}
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu
Satz 23.2 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf $\epsilon$ ab.
\inputbemerkung
{}
{
In der Situation von
Lemma 13.4
kann man direkt eine Beziehung zwischen dem
\zusatzklammer {extrinsischen} {} {}
Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu
\mathl{{\mathfrak m}_P/{\mathfrak m}_P^2}{} stiften. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix}
}
{ \in} {T_PV
}
{ =} { \operatorname{kern} \left( \operatorname{Jak}(f_1 , \ldots , f_m )_P \right)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies definiert eine Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathfrak m}_P } { K
} {g} { (dg)_P \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix} = v_1 \partial_1 g (P) + \cdots + v_n \partial_n g(P)
} {,}
dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion $g$ die Auswertung in $P$ ihrer
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in Richtung $v$ zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal
\mathl{(f_1 , \ldots , f_m)}{} auf $0$ abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei
\mathl{{\mathfrak m}_P^2}{} auf $0$ abgebildet und es ergibt sich eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {{\mathfrak m}_P/{\mathfrak m}_P^2} { K
} {.}
}