Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 16/latex
\setcounter{section}{16}
Wir besprechen in dieser Vorlesung Vorbereitungen, um die Multiplizität einer Singularität als Eigenschaft des lokalen Ringes algebraisch erfassen zu können.
\zwischenueberschrift{Graduierte Moduln}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} R_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein kommutativer
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{.}
Ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$ mit einer
\definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \bigoplus_{d \in \Z} M_d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die $M_d$ Moduln über $R_0$ sind und wobei die
\definitionsverweis {Skalarmultiplikation}{}{}
die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_d \cdot M_e
}
{ \subseteq} { M_{d+e}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d,e
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt, heißt
\definitionswortpraemath {\Z}{ graduierter Modul }{}
über $R$.
}
Dabei heißt $M_d$ die $d$-te Stufe des Moduls. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_d
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_d
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für negative $d$ ist, so spricht man $\N$-graduierten Ringen bzw. Moduln. Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_0
}
{ =} {K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist, so sind sämtliche Stufen $M_d$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Ein $\Z$-graduierter Ring $R$ ist ein graduierter Modul über sich selbst. Ebenso ist jedes
\definitionsverweis {homogene Ideal}{}{}
\zusatzklammer {also ein von homogenen Elementen erzeugtes Ideal} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein graduierter Untermodul und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R/I
}
{ =} { \bigoplus_{d \in \Z} R_d/I_d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ein graduierter Restklassenmodul.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} R_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein kommutativer
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} M_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} N_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {graduierte Moduln}{}{}
über $R$. Ein
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { M} { N
} {}
heißt
\definitionswort {homogen}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(M_d)
}
{ \subseteq }{ N_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
} Manchmal nennt man die vorstehenden Homomorphismen auch graduierte Homomorphismen vom Grad $0$ und nennt auch solche Homomorphismen homogen, bei denen der Grad um eine bestimmte Zahl verschoben wird. Solche Verschiebungen kann man aber auch durch Verschiebungen in der Graduierung beschreiben.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} R_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein kommutativer
\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} M_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Modul}{}{}
über $R$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
versteht man unter
\mathl{M(n)}{} den gleichen, aber mit der Graduierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( M(n) \right) }_d
}
{ \defeq} { M_{n+d}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
versehenen Modul. Man nennt ihn den um den Grad $n$
\definitionswort {verschobenen Modul}{.}
}
Speziell spielen die
\mathl{R(n)}{} eine wichtige Rolle. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein homogenes Element vom Grad $d$ eines graduierten $R$-Moduls ist, so gehört dazu der homogene Modulhomomorphismus
\maabbeledisp {} { R(-d)} { M
} {1} {v
} {.}
{Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Homogene Surjektion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} R_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein kommutativer
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} M_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Modul}{}{}
über $R$.}
\faktfolgerung {Wenn $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
ist, so wird er auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt und es gibt einen surjektiven
\definitionsverweis {homogenen Modulhomomorphismus}{}{}
der Form
\maabbdisp {} { \bigoplus_{i = 1}^k R(-d_i)} { M
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.4. }
\zwischenueberschrift{Die Hilbertfunktion}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $M$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Modul}{}{}
über $R$ mit der Eigenschaft, dass die homogenen Stufen $M_n$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
sind. Dann nennt man die Funktion
\maabbeledisp {H_M} {\Z } { \Z
} {n} { \dim_{ K } { \left( M_n \right) }
} {,}
die
\definitionswort {Hilbertfunktion}{}
zu $M$.
}
\inputbeispiel{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_m]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in $m$ Variablen über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Dann gibt es nach
Aufgabe 4.6
genau
\mathl{\binom { n+m-1 } { m-1 }}{} Monome vom Grad $n$. Dies ist somit die
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumdimension}{}{}
der $n$-ten Stufe des standard-graduierten Polynomringes. Die
\definitionsverweis {Hilbertfunktion}{}{}
des graduierten $R$-Moduls $R$ ist also
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{H_R(n)
}
{ =} { \binom { n+m-1 } { m-1 }
}
{ =} { { \frac{ (n+m-1) \cdots (n+1) }{ (m-1)! } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ (m-1)! } } n^{m-1} + { \frac{ m }{ 2 (m-2)! } } n^{m-2} + \text{ kleinere Terme}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Insbesondere ist die Hilbertfunktion ein Polynom mit Koeffizienten aus $\Q$, das aber an jeder natürlichen Stelle eine natürliche Zahl als Wert besitzt.
}
In einer Variablen ist $H_R$ konstant $=1$, in zwei Variablen ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_R (n)
}
{ = }{ n+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
in drei Variablen ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_R (n)
}
{ = }{ { \frac{ (n+2)(n+1) }{ 2 } }
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } n^2 + { \frac{ 3 }{ 2 } } n+ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
in vier Variablen ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_R (n)
}
{ = }{ { \frac{ (n+3)(n+2)(n+1) }{ 6 } }
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 6 } } n^3 + n^2 + { \frac{ 11 }{ 6 } } n+ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Standard-graduierter Ring/K/Modul/Endlich erzeugt/Stufen endlichdimensional/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Modul}{}{}
über $R$.}
\faktfolgerung {Dann sind die homogenen Stufen $M_n$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst ist $R$ ein Restklassenring eines standard-graduierten Polynomringes und somit sind die homogenen Stufen von $R$ nach Beispiel 16.6 endlichdimensional. Nach Lemma 16.4 gilt dies auch für die Stufen des Moduls.
\inputdefinition
{}
{
Eine Funktion
\maabb {f} {\Z} { \Z
} {}
heißt von
\definitionswort {polynomialen Typ}{,}
wenn es ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(n)
}
{ = }{ P(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
\inputfaktbeweis
{Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
\definitionsverweis {graduierter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Hilbertfunktion}{}{}
$H_M$ von
\definitionsverweis {polynomialem Typ}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst sind nach
Lemma 16.7
die Stufen $M_d$ endlichdimensional, so dass die Hilbertfunktion wohldefiniert ist. Nach Voraussetzung ist das
\definitionsverweis {irrelevante Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_+
}
{ = }{ \bigoplus_{d \geq 1} R_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{,}
und zwar wird es von Elementen aus $R_1$ erzeugt. Wir führen Induktion über die Erzeugendenanzahl $r$ dieses Ideals. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{R_0
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Körper und $M$ ist als ganzes ein endlichdimensionaler Vektorraum. Deshalb sind alle Stufen $M_d$ zu hinreichend großen $d$ gleich $0$. Zum Induktionsschluss sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_+
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_r)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $M$ ein endlicher erzeugter graduierter $R$-Modul. Der Restklassenring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{R/(f_r)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ebenfalls standard-graduiert und sein irrelevantes Ideal besitzt einen Erzeuger weniger, auf ihn können wir also die Induktionsvoraussetzung anwenden. Der Restklassenmodul
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ = }{ M/(f_r)M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {ein graduierter $R$- und damit auch} {} {}
ein graduierter $S$-Modul. Folglich gibt es ein Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in} { \Q[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H_N(d)
}
{ = }{ Q(d)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für $d$ hinreichend groß. Es liegt eine exakte Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow L = { \left\{ m \in M \mid f_r \cdot m = 0 \right\} } \longrightarrow M \stackrel{\cdot f_r} { \longrightarrow} M(1) \longrightarrow { \left( M/f_r M \right) } (1) \longrightarrow 0} { }
von graduierten endlich erzeugten $R$-Moduln vor. Dabei ist der Modul links ebenfalls ein $S$-Modul, und somit gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein weiteres Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H_L(d)
}
{ = }{ T(d)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für $d$ hinreichend groß. Da sich die Vektorraumdimensionen für exakte Komplexe von $K$-Vektorräumen additiv verhalten, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_M(d+1) -H_M(d)
}
{ =} { H_N(d) -H_L(d)
}
{ =} { Q(d)-T(d)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für $d$ hinreichend groß. Ab einem gewissen $d_0$ verhält sich also der Zuwachs von
\mathl{H_M(d)}{} polynomial und daher ist nach
Lemma Anhang 9.4
die Funktion
\mathl{H_M(d)}{} selbst polynomial.
\inputfaktbeweis
{Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hilbertfunktion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ P
}
{ = }{K[X_1 , \ldots , X_m ]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
$\neq 0$ vom Grad $d$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Hilbertfunktion}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_m ]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\zusatzklammer {die zweite Gleichung gilt für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n
}
{ \geq }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_R (n)
}
{ =} { H_P(n) - H_P(n-d)
}
{ =} { { \frac{ d }{ (m-2)! } } n^{m-2} + \text{ kleinere Terme}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es liegt eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von graduierten $P$-Moduln
\mathdisp {0 \longrightarrow P (-d ) \stackrel{\cdot F}{\longrightarrow} P \longrightarrow R \longrightarrow 0} { }
und damit auch für jede Stufe eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow P_{n-d} \stackrel{\cdot F}{\longrightarrow} P_n \longrightarrow R_n \longrightarrow 0} { }
vor. Daher gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_R (n)
}
{ =} { H_P(n) - H_P(n-d)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Beispiel 16.6
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_P(n)
}
{ =} { \binom { n+m-1 } { m-1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ H_R (n)
}
{ =} { H_P(n) - H_P(n-d)
}
{ =} { \binom { n+m-1 } { m-1 } - \binom { n-d+m-1 } { m-1 }
}
{ =} { { \frac{ (n+m-1) \cdots (n+1) }{ (m-1)! } } - { \frac{ (n-d+m-1) \cdots (n-d+1) }{ (m-1)! } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ (m-1)! } } { \left( { \frac{ m(m-1) }{ 2 } } + (m-1)d - { \frac{ m(m-1) }{ 2 } } \right) } n^{m-2} + \text{ kleinere Terme}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ d }{ (m-2)! } } n^{m-2} + \text{ kleinere Terme}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Aufgrund von
Lemma 16.9
ist die folgende Definition sinnvoll.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $M$ ein
\definitionsverweis {endlicher erzeugter}{}{}
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Modul}{}{}
über $R$. Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_M
}
{ \in} { \Q[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_M(n)
}
{ = }{P_M(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \gg }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionswort {Hilbertpolynom}{}
zu $M$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $M$ ein
\definitionsverweis {endlicher erzeugter}{}{}
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Modul}{}{}
über $R$. Das
\definitionsverweis {Hilbertpolynom}{}{}
zu $M$ habe die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_M(d)
}
{ =} { \alpha_m d^m + \cdots + \alpha_1 d + \alpha_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha_m
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e(M)
}
{ \defeq} { m! \cdot \alpha_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Multiplizität}{}
von $M$.
}
Wenn das Hilbertpolynom das Nullpolynom ist, so betrachtet man
\mathl{\sum_{i \in \Z} \dim_{ K } { \left( M_i \right) }}{} als die Multiplizität. Diesen Ausnahmefall kann man umschiffen, wenn man das kumulative Hilbertpolynom betrachtet, siehe die Aufgaben.
\inputfaktbeweis
{Polynomring/K/Multiplizität/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
des
\definitionsverweis {Polynomringes}{}{}
über einem Körper}
\faktfolgerung {ist $1$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Beispiel 16.6
ist das
\definitionsverweis {Hilbertpolynom}{}{}
eines Polynomringes in $m$ Variablen gleich
\mathl{{ \frac{ 1 }{ (m-1)! } } n^{m-1} + { \frac{ m }{ 2 (m-2)! } } n^{m-2} + \text{ kleinere Term}}{.} Multiplikation des Leitkoeffizienten mit der Fakultät des Grades ergibt $1$.
\inputfaktbeweis
{Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hyperfläche/Multiplizität/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ P
}
{ = }{K[X_1 , \ldots , X_m ]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
$\neq 0$ vom Grad $d$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_m ]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $d$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus der expliziten Berechnung in Lemma 16.10.
\inputfaktbeweis
{Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Ganzzahlig/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $M$ ein
\definitionsverweis {endlicher erzeugter}{}{}
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Modul}{}{}
über $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
von $M$ eine natürliche Zahl.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Diese Eigenschaft gilt nach Korollar Anhang 9.6 für jede Funktion von polynomialen Typ.