Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Dimension von endlich erzeugte Algebren}
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Körper/Krulldimension/Höhengleichheit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$}
\faktfolgerung {besitzt die
\definitionsverweis {Krulldimension}{}{}
$n$.}
\faktzusatz {Jedes
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
des Polynomringes besitzt die
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
$n$.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ { \left( X_1,X_2 , \ldots , X_n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann zeigt einerseits die Primidealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \subset} { { \left( X_1 \right) }
}
{ \subset} { { \left( X_1,X_2 \right) }
}
{ \subset \ldots \subset} { { \left( X_1,X_2 , \ldots , X_n \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass die Höhe von ${\mathfrak m}$ zumindest $n$ ist. Da das Ideal $n$ Erzeuger besitzt, folgt andererseits aus
Satz 18.7,
dass die Höhe von ${\mathfrak m}$ höchstens gleich $n$ ist. Die Höhe ist also genau $n$.
Wenn ein maximales Ideal der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak m}
}
{ =} { { \left( X_1-a_1 , \ldots , X_n-a_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {also ein Punktideal} {} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorliegt, so zeigt die gleiche Argumentation, dass seine Höhe gleich $n$ ist
\zusatzklammer {oder man arbeitet mit einem
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
von \mathlk{K[X_1 , \ldots , X_n]}{,} der ${\mathfrak m}$ in
\mathl{{ \left( X_1 , \ldots , X_n \right) }}{} überführt.} {} {.}
Wenn $K$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{}
ist, so sind wir nach
Satz Anhang 2.6
fertig.
Wenn $K$ ein beliebiger Körper ist, so gibt es eine
\definitionsverweis {ganze}{}{}
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{\overline{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $\overline{K}$ algebraisch abgeschlossen. Die Erweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ \subseteq} { \overline{K}[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ebenfalls ganz. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein maximales Ideal. Dazu gibt es nach
Lemma Anhang 12.2
und
Lemma Anhang 12.5
ein maximales Punktideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak n}
}
{ \subseteq} { \overline{K}[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das auf ${\mathfrak m}$ runterschneidet. Eine Primidealkette unterhalb von ${\mathfrak n}$ der Länge $n$ schneidet auf eine Primidealkette unterhalb von ${\mathfrak m}$ runter, so dass die Höhe von ${\mathfrak m}$ zumindest $n$ ist. Umgekehrt gibt es zu einer Primidealkette unterhalb von ${\mathfrak m}$ nach
Lemma Anhang 12.1
eine darüberliegende Primidealkette in
\mathl{\overline{K}[X_1 , \ldots , X_n ]}{.} Da eine solche maximal die Länge $n$ besitzt, ist die Höhe von ${\mathfrak m}$ gleich $n$.
Ohne Beweis erwähnen wir den folgenden Satz.
\inputfakt{Krulldimension/Dimension des Polynomringes/Noetherscher Ring/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{} $d$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R[X]}{} die Dimension
\mathl{d+1}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Körper/Hyperfläche/Dimension/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom $\neq 0$ über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]/(F)}{} die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathl{n-1}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz Anhang 13.1
gibt es eine
\definitionsverweis {endliche Erweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[Y_1 , \ldots , Y_{n-1}]
}
{ \subseteq} {K[X_1 , \ldots , X_{n}]/(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Satz Anhang 12.6
stimmen die Dimensionen der beiden Ringe überein. Also hat der Hyperflächenring die gleiche Dimension wie der Polynomring in
\mathl{n-1}{} Variablen, die nach
Satz 19.1
gleich
\mathl{n-1}{} ist.
\inputfaktbeweis
{Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {integre}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra vom endlichen Typ}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt jede maximale Primidealkette in $R$ die gleiche Länge.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $d$ die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $R$, wir führen Induktion über $d$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage klar. Zum Induktionsschluss sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \subset} { {\mathfrak p}_1
}
{ \subset \ldots \subset} { {\mathfrak p}_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine maximale Primidealkette in $R$. Nach
Satz Anhang 13.2
gibt es eine
\definitionsverweis {endliche Erweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[Y_1 , \ldots , Y_{d}]
}
{ \subseteq} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}_1
}
{ \defeq} { {\mathfrak p}_1 \cap K[Y_1 , \ldots , Y_{d}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Aufgabe 19.9
ist ${\mathfrak q}_1$ nicht das Nullideal. Würde es ein Primideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \subset} { {\mathfrak q}
}
{ \subset} {{\mathfrak q}_1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geben, so würde es dazu nach
Satz Anhang 12.7
eine Primidealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \subset} { {\mathfrak p}
}
{ \subset} {{\mathfrak p}_1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geben, die darüber liegt, und dann wäre die Kette nicht maximal. Das bedeutet, dass ${\mathfrak q}_1$ die Höhe $1$ besitzt. Da der Polynomring
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}_1
}
{ =} {(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Primhauptideal und somit ist nach
Satz 19.3
die Dimension von
\mathl{K[Y_1 , \ldots , Y_{d}]/(F)}{} gleich
\mathl{d-1}{.} Da die induzierte Abbildung
\maabbdisp {} { K[Y_1 , \ldots , Y_{d}]/(F)} { R/{\mathfrak p}_1
} {}
ebenfalls endlich und injektiv ist, folgt nach
Satz Anhang 12.6,
dass die Dimension von $R/{\mathfrak p}_1$ gleich
\mathl{d-1}{} ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt jede maximale Primidealkette in
\mathl{R/{\mathfrak p}_1}{} die Länge $d-1$. Unsere Primidealkette induziert
\zusatzklammer {startend mit ${\mathfrak p}_1$} {} {}
eine maximale Primidealkette in
\mathl{R/{\mathfrak p}_1}{,} also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n-1
}
{ =} {d-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non_cohen_macaulay_scheme_thumb.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Non cohen macaulay scheme thumb.png } {} {Jakob.scholbach} {en.wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
In der vorstehenden Aussage ist die Voraussetzung der Integrität notwendig, wie jedes Beispiel zeigt, in dem die maximalen Komponenten nicht die gleiche Dimension haben. Aber auch die Voraussetzung, dass die Algebra vom endlichen Typ ist, ist entscheidend.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den Polynomring
\mathl{K[X,Y]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit dem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{ (X-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das nicht in ${\mathfrak m}$ liegt. Wir betrachten das
\definitionsverweis {multiplikative System}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { { \left\{ f \in K[X,Y] \mid f \notin {\mathfrak m} \text{ und } f \notin {\mathfrak p} \right\} }
}
{ =} { K[X,Y] \setminus {\mathfrak m} \cap K[X,Y] \setminus {\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In der
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y]_S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Primideale
\mathkor {} {{\mathfrak m} R} {und} {{\mathfrak p} R} {}
die einzigen maximalen Ideale, das eine hat die
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
$2$ und das andere die Höhe $1$. Die Aussage
Satz 19.4
gilt also nicht für integre Algebren, die
\definitionsverweis {im Wesentlichen vom endlichen Typ}{}{}
sind.
}
\inputfaktbeweis
{Algebra/Körper/Primideal/Dimension plus Höhe/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {integre}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra vom endlichen Typ}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim} { \left( R \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim} { \left( {\mathfrak p} \right) } + \operatorname{ht} { \left( {\mathfrak p} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 19.4.
Die folgende Aussage setzt die Dimension einer integren Algebra vom endlichen Typ in Beziehung zum Transzendengrad des zugehörigen Quotientenkörpers. Für den Begriff Transzendenzgrad und seine wichtigsten Eigenschaften siehe die Vorlesung zur Galoistheorie.
\inputfaktbeweis
{Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Dimension und Transzendenzgrad/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {integre}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra vom endlichen Typ}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit dem
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann stimmt die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $R$ mit dem
\definitionsverweis {Transzendenzgrad}{}{}
von $Q$ über $K$ überein.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz Anhang 13.2
gibt es
\definitionsverweis {algebraisch unabhängige}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[f_1 , \ldots , f_n]
}
{ \subseteq} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist. Dann ist auch die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
der Quotientenkörper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q( K[f_1 , \ldots , f_n] )
}
{ =} {K(f_1 , \ldots , f_n)
}
{ \cong} { K(T_1 , \ldots , T_n)
}
{ \subseteq} { Q(R)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endlich}{}{.}
Also ist $n$ nach Definition der Transzendenzgrad.
\inputfaktbeweis
{Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Nenneraufnahme/Dimension/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {integre}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra vom endlichen Typ}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedenes Element.}
\faktfolgerung {Dann stimmt die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
der
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_f$ mit der Dimension von $R$ überein.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der Quotientenkörper von $R_f$ stimmt mit dem Quotientenkörper von $R$ überein. Da mit $R$ auch $R_f$ von endlichem Typ über $K$ ist, folgt die Aussage aus Satz 19.7.
\zwischenueberschrift{Der Grad des Hilbert-Samuel Polynoms}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$ versteht man unter der
\definitionswort {Krulldimension}{}
von $M$ die
\definitionsverweis {Krulldimension}{}{}
von
\mathl{R/ \text{Ann}_R M}{.}
}
\inputfakt{Kommutativer Ring/Modul/Dimension/Hilbert-Samuel-Polynom/Grad/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des Moduls und dem Grad des
\definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Polynoms}{}{}
$P_M$ der Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim} { \left( M \right) }
}
{ =} { \operatorname{grad} \, (P_M) +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}