Gegeben eine universelle Überlagerung
, so kann man sowohl die unterliegende Menge als auch die Topologie von
mit Hilfe von Daten ausdrücken, die nur mit
zu tun haben. Dies führt zu folgender Definition. Es sei
ein topologischer Raum und
. Dann ist
-
die Menge der basierten Wege in . Die Auswertung eines basierten Weges an liefert die Endpunkt-Abbildung in die unterliegende Menge von . Auf ist die Äquivalenzrelation Homotopie relativ definiert. Es sei die kanonische Projektion auf die Quotientenmenge. Ein Element in ist also eine relative Homotopieklasse von basierten Wegen in . Sind , so ist , da ja die Homotopien den Endpunkt festhalten. Somit definiert die Endpunkt-Abbildung eine Abbildung
-
Dies wird die universelle Überlagerung sein. Um dies zu zeigen, wird zunächst mit einer Topologie versehen.
Es sei nun semi-lokal einfach-zusammenhängend, also insbesondere lokal wegzusammenhängend. Ist , so besitzt eine Spezialumgebung , die nach obigem Lemma offen gewählt werden kann (was wir jetzt auch tun). Es sei nun
-
die Menge der relativen Homotopieklassen der basierten Wege, die sich darstellen lassen als Weg
gefolgt von einem Weg
, der ganz in
verläuft. Wir definieren nun: Eine Teilmenge
ist
offen, wenn zu jedem
eine offene Spezialumgebung
existiert, sodass
gilt. Offensichtlich sind
und
offen. Sind
offen, so ist auch
offen. Denn zu
gibt es offene Spezialumgebungen
-
Es sei die Wegzusammenhangskomponente der offenen Menge , die enthält. Weil lokal wegzusammenhängend ist, ist offen in nach dieser Aussage. Also ist eine offene Spezialumgebung von , denn der induzierte Gruppenhomomorphismus faktorisiert als
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und ist somit trivial. Des weiteren gilt offensichtlich
-
was die Offenheit von liefert. Dass eine Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist, ist offensichtlich. Somit ist
ein topologischer Raum.
Um zu zeigen, dass
eine Überlagerung ist, sei wieder
eine offene Spezialumgebung. Es ist
-
Denn zu
gibt es genau eine relative Homotopieklasse
eines Weges von
nach
mit Bild in
. Somit liegt
genau in der durch
indizierten Menge
. Daraus folgert man zwei Sachen.
Zum einen ist
als Vereinigung offener Mengen wieder offen, was die Stetigkeit von
liefert. Denn eine beliebige Umgebung eines Punktes enthält immer auch eine offene Spezialumgebung. Zum anderen ist die Vereinigung
-
disjunkt, wegen der oben erwähnten Eindeutigkeit. Es sei nun
die Einschränkung von
und
, dann gibt es genau eine relative Homotopieklasse
eines Weges von
nach
mit Bild in
. Dies liefert eine Umkehrabbildung
-
Um die Stetigkeit von
zu zeigen, reicht es, eine Menge der Form
zu betrachten, wobei
und
eine offene Spezialumgebung ist. Dann ist
-
offen in
. Somit ist
eine topologische Äquivalenz. Anders ausgedrückt ist
topologisch äquivalent zu dem Produkt
, was zeigt, dass
eine Überlagerung ist.
Es bleibt zu zeigen, dass wegzusammenhängend und einfach-zusammenhängend ist. Es sei die Homotopieklasse des konstanten Weges an und . Es sei ein Repräsentant von und für alle der Weg
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gegeben. Dann ist
-
eine Abbildung mit
und
. Sie ist stetig. Denn gegeben eine offene Spezialumgebung
, so gibt es aufgrund der Stetigkeit von
ein
mit
-
. Insbesondere ist für jedes
also
, denn
-
Demnach ist
ein Weg von
nach
, und
ist wegzusammenhängend. Der einfache Zusammenhang folgt, sobald
trivial ist. Es sei also
eine Schleife an
und
die induzierte Schleife an
. Nun ist
eine Überlagerung, also ist
nach
diesem Satz bereits nullhomotop, wenn
es ist. Es sei nun
in obiger Notation, also
. Dies ist ein Weg von
zu
mit der Eigenschaft, dass
gilt. Die Eindeutigkeit aus dem
Homotopie-Liftungssatz liefert nun
, also insbesondere
-
was den Beweis beendet.