Eine Implikation folgt sofort aus der Funktorialität der Fundamentalgruppe. Es sei eine stetige Abbildung mit . Dann ist
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Um die Abbildung aus den gegebenen Daten zu konstruieren, benutzt man die sogenannte
Fakt *****
von Überlagerungen in einem Spezialfall. Denn sei . Da zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist, ist nach
Fakt *****
weg-zusammenhängend. Es sei also ein Weg von nach . Nach
Fakt *****
gibt es genau einen Weg mit den Eigenschaften, dass und gilt. Setze nun . Dies hängt gegebenenfalls von der Wahl des Weges ab. Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, seien nun zwei Wege in von nach . Dann ist eine Schleife in am Basispunkt . Insbesondere ist
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nach Voraussetzung. Also existiert eine Schleife mit der Eigenschaft, dass
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Es sei eine Homotopie von zu relativ zu . Wieder nach
Fakt *****
gibt es genau eine Homotopie
mit der Eigenschaft, dass und . Aus und
folgt
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denn
ist zusammenhängend. Somit ist auch
eine Homotopie relativ
. Insbesondere ist die Abbildung
eine Schleife an
. Sie ist aber nach Konstruktion ein (und aufgrund der durch den fixierten Anfangspunkt erzwungenen Eindeutigkeit
der) Lift der Schleife
. Betrachte nun den Lift der Schleife
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Dieser Lift kann in zwei Schritten konstruiert werden. Im ersten Schritt konstruiert man den Lift der Schleife zum Anfangspunkt , und das haben wir mit der Einschränkung von auf bereit getan. Im zweiten Schritt konstruiert man den Lift des Weges zu dem Anfangspunkt, der gerade der Endpunkt des im ersten Schritt konstruierten Liftes ist. Dieser Lift war ja, wie bereits gezeigt, eine Schleife an , also ist dies . Offensichtlich ist homotop relativ zu , was nach
Fakt *****
auch für die Lifts gilt. Es folgt insbesondere
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was zeigt, dass wohldefiniert ist.
Nun zur Stetigkeit von . Es sei und eine Umgebung des Bildpunktes. Gesucht ist eine Umgebung mit . Diese konstruiert man wie folgt. Es sei eine offene Menge aus einer Elementarüberdeckung mit . Es sei weiter eine topologische Äquivalenz. Dann ist die Einschränkung von auf ebenso eine topologische Äquivalenz. Insbesondere ist
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eine Umgebung von
. Dann ist aber auch
eine Umgebung von
. Da
stetig ist, gibt es eine Umgebung
mit
. Nun ist
nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend. Demnach gibt es eine weg-zusammenhängende Umgebung
. Die Behauptung ist nun, dass
gilt. Denn sei
. Zur Konstruktion von
benötigen wir einen Weg
von
nach
. Es sei
ein Weg von
nach
und sei
ein Weg von
nach
, der ganz in
verläuft. Dann ist
ein Weg von
nach
. Der Endpunkt
ist also gegeben durch den Endpunkt des Liftes
zum Anfangspunkt
. Da
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eine topologische Äquivalenz ist und
, ist der Lift
zum Anfangspunkt
ein Weg mit Bild in
. Insbesondere ist der Endpunkt
, was zu zeigen war.