Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 17

Abbildungen von Überlagerungen

Definition

Es seien ${}p\colon E\rightarrow X$ und ${}q\colon F\rightarrow X$ Überlagerungen von ${}X$. Eine Abbildung von Überlagerungen von ${}p$ nach ${}q$ ist eine stetige Abbildung ${}f\colon E\rightarrow F$ mit der Eigenschaft, dass ${}q\circ f=p$ gilt. Ist ${}f$ zudem eine Homöomorphie, so ist ${}f$ ein Isomorphismus von Überlagerungen. Die Menge der Abbildungen von Überlagerungen von ${}p$ nach ${}q$ wird mit ${}\operatorname {Hom} _{X}(E,F)$ bezeichnet. Die Menge der Isomorphismen von Überlagerungen von ${}p$ nach ${}p$ heißt ${}\operatorname {Aut} _{X}(E)$. Diese Menge ist eine Gruppe unter der Komposition, die sogenannte Decktransformationengruppe von ${}p\colon E\rightarrow X$.

Sei ${}X$ ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, ${}x_{0}\in X$ und ${}G:=\pi _{1}(X,x_{0})$ die Fundamentalgruppe von ${}X$. Ist ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung, so operiert die Gruppe ${}G$ auf der Faser ${}p^{-1}(x_{0})$ in folgender Weise. Sei ${}y\in p^{-1}(x_{0})$ und ${}[u]\in \pi _{1}(X,x_{0})$. Nach dem Homotopie-Liftungssatz gibt es einen Weg ${}w\colon I\to E$ von ${}y$ zu ${}z$ mit ${}p\circ w=u\in [u]$, dessen Endpunkt ${}z$ nicht von der Wahl ${}u\in [u]$ abhängt. Setze ${}y\cdot [u]:=z$. Dies liefert eine Abbildung

${}p^{-1}(x_{0})\times \pi _{1}(X,x_{0})\to p^{-1}(x_{0})\ \ \ (y,[u])\mapsto y\cdot [u]\,.$

Satz

Es sei ${}X$ ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, ${}x_{0}\in X$ und ${}G:=\pi _{1}(X,x_{0})$ die Fundamentalgruppe von ${}X$. Es sei weiter ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung. Es gilt:

1. Die Abbildung ${}p^{-1}(x_{0})\times G\to p^{-1}(x_{0})$ ist eine rechte ${}G$-Operation.
2. Die Menge der Bahnen ${}p^{-1}(x_{0})/G$ ist isomorph zu ${}\pi _{0}E$.
3. Für jedes ${}y\in p^{-1}(x_{0})$ stimmt die Standgruppe ${}G_{y}:=\{[u]\in G\colon y\cdot [u]=y\}$ überein mit dem Bild ${}p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))\subseteq \pi _{1}(X,x_{0})$.
4. Ist ${}f\colon E_{1}\to E_{2}$ eine Abbildung von Überlagerungen von ${}X$, so ist die Einschränkung

   ${}f\vert _{p_{1}^{-1}(x_{0})}\colon p_{1}^{-1}(x_{0})\to p_{2}^{-1}(x_{0})\,$

   eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen.

Beweis

1. Es ist zu zeigen, dass die Gleichungen ${}(y\cdot [u])\cdot [v]=y\cdot [u{\scriptscriptstyle {\Box }}v]$ und ${}y\cdot [x_{0}]=y$ für alle ${}y\in p^{-1}(x_{0})$ und ${}[u],[v]\in \pi _{1}(X,x_{0})$ gelten. Es sei ${}u^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von ${}u\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}y$ und ${}v^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von ${}v\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}u^{\prime }(1)$. Dann ist ${}u^{\prime }{\scriptscriptstyle {\Box }}v^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von ${}u{\scriptscriptstyle {\Box }}v\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}y$. Die Gleichung

   ${}u^{\prime }{\scriptscriptstyle {\Box }}v^{\prime }(1)=v^{\prime }(1)\,$

   liefert dann die Identität ${}(y\cdot [u])\cdot [v]=y\cdot [u{\scriptscriptstyle {\Box }}v]$. Der Lift der konstanten Schleife ${}x_{0}\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}y$ ist die konstante Schleife ${}y\colon I\to E$, was die Identität ${}y\cdot [x_{0}]=y$ liefert.
2. Sind zwei Punkte ${}y,z\in p^{-1}(x_{0})$ in derselben Bahn, also ${}y\cdot [u]=z$ für ein ${}[u]\in \pi _{0}(X,x_{0})$, so gibt es insbesondere einen Weg in ${}E$ von ${}y$ nach ${}z$. Die Komposition der Inklusion ${}i\colon p^{-1}(x_{0})\hookrightarrow E$ und der kanonische Projektion ${}q\colon E\to \pi _{0}(E)$ induziert also eine Abbildung

   ${}\phi \colon p^{-1}(x_{0})/G\to \pi _{0}(E)\,.$

   Die Abbildung ${}\phi$ ist injektiv. Denn wenn ${}y,z\in p^{-1}(x_{0})$ und ${}w$ ein Weg in ${}E$ von ${}y$ nach ${}z$ ist, so ist ${}p\circ w\colon I\to X$ eine Schleife an ${}x_{0}$ mit der Eigenschaft, dass ${}y\cdot [p\circ w]=z$. Die Abbildung ${}\phi$ ist surjektiv. Denn wenn ${}z\in E$ beliebig ist, so gibt es in ${}X$ einen Weg von ${}p(z)$ nach ${}x_{0}$ -- schließlich ist ${}X$ weg-zusammenhängend. Der Lift dieses Weges zum Anfangspunkt ${}z$ ist ein Weg zu einem Element in ${}p^{-1}(x_{0})$.

3. Es sei nun ${}y\in p^{-1}(x_{0})$ und ${}[u]\in \pi _{1}(X,x_{0})$ derart, dass ${}y\cdot [u]=y$. Dann ist aber der Lift ${}u^{\prime }\colon I\to E$ von ${}u$ zum Anfangspunkt ${}y$ eine Schleife an ${}y$ mit der Eigenschaft, dass

   ${}p_{\ast }([u^{\prime }])=[p\circ u^{\prime }]=[u]\,$

   Es folgt, dass ${}G_{y}\subseteq p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))$. Ist hingegen ${}v\colon I\to E$ eine Schleife an ${}y$, so ist ${}y\cdot [p\circ v]=v(1)=y$, was die Inklusion ${}G_{y}\supseteq p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))$ zeigt.

4. Es sei ${}f\colon E_{1}\to E_{2}$ eine Abbildung von Überlagerungen. Ist ${}y\in p_{1}^{-1}(x_{0})$, so gilt ja wegen ${}p_{2}\circ f=p_{1}$ auch ${}f(y)\in p_{2}^{-1}(x_{0})$. Demnach schränkt ${}f$ auf eine Abbildung

   ${}f\colon p_{1}^{-1}(x_{0})\to p_{2}^{-1}(x_{0})\,$

   ein. Um zu zeigen, dass dies eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen ist, sei ${}[u]\in G=\pi _{1}(X,x_{0})$. Ist ${}u^{\prime }\colon I\to E_{1}$ der Lift von ${}u$ zum Anfangspunkt ${}y\in E_{1}$, so ist ${}f\circ u^{\prime }$ der Lift von ${}u$ zum Anfangspunkt ${}f(y)\in E_{1}$. Denn ${}p_{2}\circ (f\circ u^{\prime })=p_{1}\circ u^{\prime }=u$. Somit ist

   ${}f(y)\cdot [u]=(f\circ u^{\prime })(1)=f(u^{\prime }(1))=f(y\cdot [u])\,,$

   was zeigt, dass ${}f$ eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}X$ ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum, ${}x_{0}\in X$ und ${}p\colon E\rightarrow X$, ${}q\colon F\rightarrow X$ Überlagerungen von ${}X$.

Dann ist die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{X}(E,F)\longrightarrow \operatorname {Hom} _{G}{\left((p^{-1}(x_{0}),q^{-1}(x_{0})\right)},\,f\longmapsto f\vert _{p^{-1}(x_{0})},$

bijektiv.

Beweis

Es sei ${}\phi \colon p^{-1}(x_{0})\to q^{-1}(x_{0})$ eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen. Um diese zu einer Abbildung ${}f\colon E\to F$ von Überlagerungen von ${}X$ zu erweitern, sei ${}E^{\prime }$ eine Wegzusammenhangskomponente von ${}E$. Da ${}X$ nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend ist, ist es auch ${}E$ nach dieser Aussage. Insbesondere ist der topologische Raum ${}E$ die disjunkte Vereinigung seiner Wegzusammenhangskomponenten nach diesem Satz. Zudem ist ${}p^{\prime }\colon E^{\prime }\hookrightarrow E{\xrightarrow {p}}X$ wieder eine Überlagerung. Es reicht also, eine Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ von Überlagerungen anzugeben, die auf ${}p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ mit ${}\phi$ übereinstimmt. Dies geschieht mit Hilfe des Liftungssatzes.

Es sei ${}y_{0}\in p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ und ${}e_{0}=\phi (y_{0})\in q^{-1}(x_{0})\subseteq F$. Der Liftungssatz liefert die Existenz (genau) einer stetigen Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ mit ${}q\circ f=p\vert _{E^{\prime }}$ genau dann, wenn ${}p_{\ast }\pi _{1}(E^{\prime },y_{0})\subseteq q_{\ast }\pi _{1}(F,e_{0})$ gilt. Nach obigem Satz ist ${}p_{\ast }\pi _{1}(E^{\prime },y_{0})=G_{y_{0}}$. Weil ${}\phi$ eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen ist, gilt ${}G_{y_{0}}\subseteq G_{e_{0}}$. Wieder nach obigem Satz ist ${}G_{e_{0}}=q_{\ast }\pi _{1}(F,e_{0})$. Also ist der Liftungssatz anwendbar, und es existiert eine stetige Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ mit ${}q\circ f=p\vert _{E^{\prime }}$, die auf ${}y_{0}$ mit ${}\phi$ übereinstimmt. Nun ist jedes Element in ${}p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ nach obigem Satz von der Form ${}y_{0}\cdot [u]$ für ein ${}[u]\in \pi _{1}(X,x_{0})=G$. Dies impliziert, dass ${}f$ auf ganz ${}p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ mit ${}\phi$ übereinstimmt. Somit ist gezeigt, dass die Abbildung

${}\operatorname {Hom} _{X}(E,F)\to \operatorname {Hom} _{G}(p^{-1}(x_{0}),q^{-1}(x_{0}))\,$

surjektiv ist.

Das obige Argument zeigt, dass die Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ von Überlagerungen von ${}X$ schon durch die Angabe des Bildes eines Punktes eindeutig bestimmt ist. Dies zeigt die Injektivität der Abbildung zusammen mit der universellen Eigenschaft der disjunkten Vereinigung.

$\Box$

Satz

Es sei ${}X$ ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum.

Die Gruppe der Decktransformationen einer universellen Überlagerung von ${}X$ ist isomorph zur Fundamentalgruppe von ${}X$.

Beweis

Es sei ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine universelle Überlagerung, wobei ${}X$ zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist. Es sei weiter ${}x_{0}\in X$ und ${}G=\pi _{1}(X,x_{0})$. Nach obigem Satz

ist die Decktransformationengruppe von ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ isomorph zur Automorphismengruppe der ${}G$-Menge ${}q^{-1}(x_{0})$. Es reicht also zu zeigen, dass die letztere Gruppe, die mal mit ${}\operatorname {Aut} _{G}(q^{-1}(x_{0}))$ bezeichnet werde, isomorph zu ${}G$ ist. Um einen Isomorphismus anzugeben, wähle ${}y\in q^{-1}(x_{0})$. Es sei weiter ${}{\overline {G}}$ die rechte ${}G$-Menge mit unterliegender Menge ${}G$ und Operation

${}{\overline {G}}\times G=G\times G{\xrightarrow {\mu }}G={\overline {G}}\,,$

wobei ${}\mu$ die Multiplikation auf ${}G$ ist. Die Abbildung

${}\psi _{y}\colon {\overline {G}}\to q^{-1}(x_{0})\ \ \ g\mapsto y\cdot g\,$

ist eine Abbildung von ${}G$-Mengen, denn

${}\psi _{y}(g\cdot h)=y\cdot (g\cdot h)=(y\cdot g)\cdot h=\psi _{y}(g)\cdot h\,.$

Des weiteren ist ${}\psi _{y}$ bijektiv: injektiv, weil die Standgruppe ${}G_{y}=q_{\ast }(\pi _{1}({\tilde {X}},y))$ nach obigem Satz

trivial ist, und surjektiv, weil nach obigem Satz

${}\pi _{0}({\tilde {X}})\cong q^{-1}(x_{0})/G$ trivial ist. Es folgt, dass

${}\operatorname {Aut} _{G}(q^{-1}(x_{0}))\cong \operatorname {Aut} _{G}({\overline {G}})\,$

Es sei nun

${}\phi \colon G\to \operatorname {Aut} _{G}({\overline {G}})\ \ \ g\mapsto (h\mapsto g\cdot h)\,,$

dann ist ${}\phi$ ein Gruppenhomomorphismus, weil die Multiplikation in der Gruppe assoziativ ist. Des weiteren ist ${}\phi$ injektiv, denn die Abbildung ${}h\mapsto g\cdot h$ ist die Identität genau dann, wenn ${}g=1_{G}$ gilt. Es sei ${}\xi$ ein ${}G$-Automorphismus von ${}{\overline {G}}$. Dann ist

${}\xi (h)=\xi (1\cdot h)=\xi (1)\cdot h\,\forall \,h\in {\overline {G}}\,,$

was die Surjektivität liefert.

$\Box$

Einen anderen Beweis des Satzes erhält man durch die Inspektion der Konstruktion einer universellen Überlagerung. Ist ${}x_{0}\in X$ der Basispunkt eines zusammenhängenden und semi-lokal einfach-zusammenhängenden topologischen Raumes, so ist die unterliegende Menge von ${}{\tilde {X}}$ gegeben durch die relativen Homotopieklassen ${}[v]$ von Wegen in ${}X$, die bei ${}x_{0}$ beginnen. Offensichtlich ist die Faser der Überlagerung ${}{\tilde {X}}\to X$ bei ${}x_{0}$ identisch mit der unterliegenden Menge der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X,x_{0})$. Man beachte, dass diese Faser die Homotopieklasse des konstanten Weges als ausgezeichneten Punkt besitzt.

Den Satz kann man dazu benutzen, Fundamentalgruppen topologischer Räume zu bestimmen.

Beispiel

Es sei ${}p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ die kanonische Überlagerung und ${}n\geq 2$. Dann ist ${}S^{n}$ einfach-zusammenhängend nach diesem Beispiel. Da ${}\mathbb {RP} ^{n}$ semi-lokal einfach-zusammenhängend und zusammenhängend ist, ist die Decktransformationengruppe von ${}p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ isomorph zur Fundamentalgruppe von ${}\mathbb {RP} ^{n}$. Man sieht relativ leicht, dass es genau zwei Decktransformationen gibt: die Identität und die Abbildung ${}x\mapsto -x$. Also ist die Fundamentalgruppe von ${}\mathbb {RP} ^{n}$ die Gruppe mit zwei Elementen.

Sei nun ${}H\subseteq \pi _{1}(X,x_{0})$ eine Untergruppe der Fundamentalgruppe eines zusammenhängenden und semi-lokal einfach-zusammenhängenden topologischen Raumes. Diese Gruppe operiert vermöge der obigen Isomorphie auf dem Totalraum einer universellen Überlagerung ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$. Sei ${}{\tilde {X}}/H$ der Raum der ${}H$-Bahnen, versehen mit der Quotientenraumtopologie. Seien weiter ${}r\colon {\tilde {X}}\to {\tilde {X}}/H$ die kanonische und ${}p\colon {\tilde {X}}/H\to X$ die durch ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ induzierte Abbildung. Dann gilt folgender Sachverhalt.

Satz

Es sei ${}X$ ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum, ${}x_{0}\in X$ und ${}H\subseteq \pi _{1}(X,x_{0})$ eine Untergruppe. Die Abbildung ${}p\colon {\tilde {X}}/H\to X$ ist eine Überlagerung, und es gilt ${}p_{\ast }\pi _{1}({\tilde {X}}/H,y_{0})=H$ für jedes ${}y_{0}\in p^{-1}(x_{0})$.

Beweis

Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Spezialüberdeckung. Dann gibt es eine topologische Äquivalenz ${}q\colon q^{-1}(U)\cong U\times \pi _{1}(X,x_{0})$. Die Gruppe ${}\pi _{1}(X,x_{0})$ operiert auf ${}q^{-1}(U)$ durch Decktransformationen und auf ${}U\times \pi _{1}(X,x_{0})$ durch Multiplikation auf dem zweiten Faktor. Die topologische Äquivalenz ${}\phi$ ist kompatibel mit diesen Operationen, also eine topologische Äquivalenz von ${}\pi _{1}(X,x_{0})$-Räumen. Es folgt, dass

${}p^{-1}(U)=r{\bigl (}q^{-1}(U){\bigr )}\cong U\times \pi _{1}(X,x_{0})/H\,,$

was im Wesentlichen zeigt, dass ${}p$ eine Überlagerung von ${}X$ ist. Die zweite Aussage folgt aus obigem Satz.

$\Box$

Zusammenfassend gilt also folgendes: Ist ${}X$ ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum, so gibt es zu jeder Untergruppe ${}H\subseteq \pi _{1}(X,x_{0})$ eine zusammenhängende Überlagerung ${}p\colon E\to X$ mit ${}p_{\ast }\pi _{1}(E)=H$.