Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt

Cauchy-Produkt - Stetigkeit

Betrachtet man zwei Polynome $p,q\in A[t]$ in dem normierten Raum $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\mathcal {A}})$ .

p(t):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}

Dann liefert die Definition der Halbnorm für das Produkt $p\cdot q$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}$ :

\|\!|p\cdot q|\!\|_{\alpha }=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{\alpha }^{n}\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{\alpha }

Halbnormeigenschaften

Für die folgenden Abbildungen $\|\!|\cdot |\!\|_{\alpha }:\to \mathbb {R} ^{+}$ sind ebenfalls Halbnormen und es gelten die folgenden Halbnormeigenschaften:

p-Homogenität für p-Halbnormen

{\begin{array}{rcl}\|\!|\lambda \cdot q|\!\|_{\alpha }&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{\alpha }^{n}\cdot \left\|\lambda \cdot q_{k}\right\|_{\alpha }\\&=&\displaystyle |\lambda |^{p}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }D_{\alpha }^{n}\cdot \left\|q_{k}\right\|_{\alpha }\\&=&|\lambda |^{p}\cdot \|\!|q|\!\|_{\alpha }\end{array}}

Definitheit

Gilt für $p\in A[t]$ , dass $p\not =0_{_{A[t]}}$ das Nullpolynom in $A[t]$ , dann gibt ein $k\in \mathbb {N} _{0}$ mit $p_{k}\not =0_{_{\alpha }}$ , d.h., das Polynom muss wenigsten einen vom Nullvektor verschiedenen Koeffizienten haben und man erhältmit den Halbnormeigenschaften von $\|\cdot \|_{\alpha }$ auch:

\|p_{k}\|_{\alpha }>0\Rightarrow D_{\alpha }^{k}\cdot \|p_{k}\|_{\alpha }>0\Rightarrow \|\!|\lambda \cdot p|\!\|_{\alpha }>0

Dreieckungleichung p-Halbnormen

{\begin{array}{rcl}\|\!|p+q|\!\|_{\alpha }&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{\alpha }^{n}\cdot \left\|p_{k}+q_{k}\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{\alpha }^{n}\cdot \left(\left\|p_{k}\right\|_{\alpha }+\left\|q_{k}\right\|_{\alpha }\right)\\&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{\alpha }^{n}\cdot \left\|p_{n}\right\|_{\alpha }+\sum _{n=0}^{\infty }D_{\alpha }^{n}\cdot \left(\left\|q_{n}\right\|_{\alpha }\right)\\&=&\left(\|\!|p|\!\|_{\alpha }+\|\!|q|\!\|_{\alpha }\right)\end{array}}

Submultiplikativität der p-Halbnorm

{\begin{array}{rcl}\|\!|p\cdot q|\!\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{\alpha }^{n}\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{\alpha }^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}\left\|p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}\underbrace {D_{\alpha }^{n}} _{=D_{\alpha }^{k}\cdot D_{\alpha }^{n-k}}\cdot \left\|p_{k}\right\|_{\alpha }\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{\alpha }\\&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}D_{\alpha }^{k}\cdot \left\|p_{k}\right\|_{\alpha }\cdot D_{\alpha }^{n-k}\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{\alpha }\\&=&\|\!|p|\!\|_{\alpha }\cdot \|\!|q|\!\|_{\alpha }\end{array}}

D.h., dass die Multiplikation auf $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\alpha })$ stetig ist. Der Index $D\in \mathbb {R} ^{+}$ bezeichnet die gewählte Basis für die Koeffizienten $D_{\alpha }^{n}$ .

Siehe auch

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