Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/T1/Klausur/kontrolle


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 5 6 3 3 3 2 5 4 4 4 5 4 8 3 67




Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

und bestimme, ob ein Quadratrest modulo ist oder nicht ( ist eine Primzahl).



Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .



Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?



Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor.



Es sei eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe zyklisch ist, dass ein Quadratrest modulo genau dann ist, wenn ist.



Man gebe ein Polynom an, das nicht zu gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl gilt: .



Es sei eine Primzahl, mit und sei der Körper mit Elementen und der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring zu einem Ideal endlich ist.



Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal , das durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.



Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit Elementen.



Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs . Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

auf und berechne damit die Spur und die Norm von .



Es sei eine quadratfreie Zahl mit , und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für über an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe gibt.



Zeige: Für eine Primzahl ist die Mersennesche Zahl quasiprim zur Basis .



Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.



Es sei eine quadratfreie Zahl und sei ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element und zu einem Element . Definiere zu einem Ideal das konjugierte Ideal und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass und in der Klassengruppe invers zueinander sind.



Es sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.



Es sei ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element , , eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.