Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 11/latex

\setcounter{section}{11}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die kleinste Zahl $N$ der Form
\mathl{N=p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r +1}{,} die keine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist, wobei
\mathl{p_1, p_2 , \ldots , p_r}{} die ersten $r$ Primzahlen sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den Ausdruck
\mathdisp {n^2+n+41} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{0,1,2, \ldots }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Handelt es sich dabei um \definitionsverweis {Primzahlen}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte \definitionsverweis {irreduzible}{}{} Polynome in
\mathl{K[X]}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s}} { }
für reelles
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \leq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {divergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s}} { }
für eine komplexe Zahl $s$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( s \right) } }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {absolut konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den Wert der Reihe
\mathdisp {\sum_{n \in M(\{3,5,7\})} \frac{1}{n^4}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}

\mathdisp {\int_2^\infty { \frac{ 1 }{ x \ln x } }} { }
divergiert.

}
{} {}

Welche Beziehung besteht zwischen der vorstehenden Aufgabe und Satz 11.7?

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es außer
\mathl{3,5,7}{} kein weiteres Zahlentripel der Form
\mathl{p,p+2,p+4}{} gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es eine gerade Zahl
\mathbed {g} {}
{2 \leq g \leq 252} {}
{} {} {} {,} mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen $p$ derart gibt, dass auch
\mathl{p+g}{} eine Primzahl ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl $q$ modulo unendlich vieler Primzahlen $p$ ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es keine unendlich lange arithmetische Progression gibt, die nur aus Primzahlen besteht.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass es unendlich viele \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} gibt, die modulo $4$ den Rest $3$ besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Von wie vielen Zahlen ist \anfuehrung{durchschnittlich}{} die Zahl $7$ der kleinste Primteiler? Erläutere dabei, warum diese Frage durchaus einen Sinn macht. Beschreibe alle Zahlen, deren kleinster Primteiler $7$ ist (begründe!).

Beantworte die entsprechenden Fragen für eine beliebige Primzahl. Bis zu welcher Primzahl $p$ muss man gehen, damit durchschnittlich mindestens $80 \%$ (oder $85 \%$ oder $90 \%$) aller Zahlen einen Primteiler $\leq p$ besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine reelle Zahl. Zeige, dass die Anzahl
\mathdisp {\pi(ax) - \pi(x)} { }
unbeschränkt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne das unendliche Produkt
\mathdisp {\prod_{p \in {\mathbb P}, \, p \geq 7} \frac{1}{1-p^{-2} }} { . }

}
{} {}