Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 15/latex
\setcounter{section}{15}
Bevor wir uns mit algebraischer Zahlentheorie, insbesondere mit quadratischen Zahlbereichen, genauer beschäftigen können, brauchen wir einige neue algebraische Begriffe. Zur Motivation betrachten wir das folgende kommutative Diagramm.
\mathdisp {\begin{matrix} \Z & \longrightarrow & \Z[ { \mathrm i} ] \\ \downarrow & & \downarrow \\ \Q & \longrightarrow & \Q[{ \mathrm i}] \end{matrix}} { }
In der unteren Zeile stehen Körper, und zwar ist
\mathl{\Q \subset \Q[{ \mathrm i}]}{} eine endliche Körpererweiterung vom Grad $2$
\zusatzklammer {d.h. die $\Q$-Vektorraumdimension von
\mathl{\Q[{ \mathrm i}]}{} ist $2$} {} {.}
Ferner ist $\Q$ der kleinste Körper, der die ganzen Zahlen $\Z$ enthält, und ebenso ist
\mathl{\Q[{ \mathrm i}]}{} der kleinste Körper, der die Gaußschen Zahlen
\mathl{\Z[{ \mathrm i}]}{} enthält. Die Gaußschen Zahlen sind, in einem zu präzisierenden Sinne, die \anfuehrung{ganzen Zahlen}{} im Körper
\mathl{\Q[{ \mathrm i}]}{.}
Dies ist nicht selbstverständlich. Betrachten wir stattdessen die Körpererweiterung
\mathl{\Q \subset \Q[\sqrt{-3}]}{}
\zusatzklammer {ebenfalls vom Grad zwei} {} {}
was ist dann der Ring der ganzen Zahlen? Es liegt das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}
\Z & \longrightarrow & \Z[\sqrt{-3}] & \longrightarrow & \Z[\omega] \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \Q & \longrightarrow & \Q[\sqrt{-3}] & = & \Q[\sqrt{-3}] \end{matrix}} { }
vor. Hier ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\omega
}
{ = }{ \frac{-1+ \sqrt{3}{ \mathrm i}}{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\Z[\omega]}{} ist der Ring der Eisenstein-Zahlen, den wir in der zweiten Vorlesung kennengelernt haben. Für die beiden Ringe
\mathl{\Z[\sqrt{-3}]}{} und
\mathl{\Z[\omega]}{} ist
\mathl{\Q[\sqrt{-3}]}{} der kleinste sie enthaltende Körper. Auf den ersten Blick wirkt vermutlich
\mathl{\Z[\sqrt{-3}]}{} natürlicher. Andererseits ist der Ring der Eisenstein-Zahlen euklidisch und damit faktoriell, hat also deutlich bessere Eigenschaften, während nach
Aufgabe 5.20
$\Z[\sqrt{- 3}]$ nicht faktoriell ist.
Im Folgenden werden wir bestimmen, was für eine beliebige endliche Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der \anfuehrung{richtige}{} Ganzheitsring in $L$ ist. Zuerst präzisieren wir, was wir eben mit den Worten umschrieben haben, dass $\Q$ der kleinste Körper ist, der $\Z$ enthält.
\zwischenueberschrift{Der Quotientenkörper}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
$R$ ist der \definitionswort {Quotientenkörper}{}
\mathl{Q(R)}{} als die Menge der formalen Brüche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ =} { { \left\{ \frac{r}{s} \mid r, s \in R , \, s \neq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
}
Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die
\zusatzklammer {Erweiterungs- bzw. Kürzungs} {} {-}Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } }
}
{ =} { { \frac{ tr }{ ts } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{t \neq 0}{}} {} {.}
Für die Operationen gelten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{r}{s} + \frac{t}{u}
}
{ =} { \frac{ru+ts}{su}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {auf einen Hauptnenner bringen} {} {}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{r}{s} \cdot \frac{t}{u}
}
{ =} {\frac{rt}{su}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein kommutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{r}{s}
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $\frac{s}{r}$ das Inverse.
Der Integritätsbereich $R$ findet sich in
\mathl{Q(R)}{} über die Elemente $\frac{r}{1}$ wieder. Diese natürliche Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq} { Q(R)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ein Ringhomomorphismus. Das Element
\mathl{r=\frac{r}{1}}{} hat bei
\mathl{r \neq 0}{} das Inverse $\frac{1}{r}$. Zwischen $R$ und
\mathl{Q(R)}{} gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu
\mathl{r \neq 0}{} das
\zusatzklammer {eindeutig bestimmte} {} {}
Inverse $\frac{1}{r}$ enthalten und dann aber auch alle Produkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s { \frac{ 1 }{ r } }
}
{ = }{ { \frac{ s }{ r } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Algebraische Erweiterungen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien \mathkor {} {R} {und} {A} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei \maabb {} {R} {A } {} ein fixierter \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Dann nennt man $A$ eine \definitionswort {$R$-Algebra}{.}
}
Wenn eine $R$-Algebra vorliegt, so nennt man den zugehörigen Ringhomomorphismus auch den \stichwort {Strukturhomomorphismus} {.} Das vielleicht wichtigste Beispiel einer $R$-Algebra ist der Polynomring
\mathl{R[X]}{.} Ein $R$-Algebrahomomorphismus von
\mathl{R[X]}{} in eine weitere $R$-Algebra $B$ ist durch die Zuordnung
\mathl{X \mapsto f}{} gegeben, wobei
\mathl{f \in B}{} ein beliebiges fixiertes Element ist. Diese Abbildung nennt man den \stichwort {Einsetzungshomomorphismus} {.} Er schickt ein Polynom
\mathl{\sum_{i=0}^n r_iX^{i}}{,}
\mathl{r_i \in R}{,} auf
\mathl{\sum_{i=0}^n r_if^{i} \in B}{,} wobei die $r_i$ via dem Strukturhomomorphismus als Elemente in $B$ aufgefasst werden.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $A$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Dann heißt $f$ \definitionswort {algebraisch}{} über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Wenn ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das algebraische Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annulliert
\zusatzklammer {also
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist} {} {,}
so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom. Über einem Körper sind also die Begriffe
\definitionsverweis {ganz}{}{}
\zusatzklammer {siehe weiter unten} {} {}
und algebraisch äquivalent.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $A$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{A
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein über $K$
\definitionsverweis {algebraisches Element}{}{.}
Dann heißt das
\definitionsverweis {normierte Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
welches von minimalem
\definitionsverweis {Grad}{}{}
mit dieser Eigenschaft ist, das \definitionswort {Minimalpolynom}{} von $f$.
}
Die über den rationalen Zahlen $\Q$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.
\inputdefinition
{}
{
Eine komplexe Zahl $z$ heißt \definitionswort {algebraisch}{} oder \definitionswort {algebraische Zahl}{,} wenn sie \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über den rationalen Zahlen $\mathbb Q$ ist. Andernfalls heißt sie \definitionswort {transzendent}{.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Ferdinand von Lindemann (1852-1939)} }
\bildlizenz { Carl Louis Ferdinand von Lindemann.jpg } {} {JdH} {Commons} {PD} {http://www.math.uha.fr/Pi/trans.html}
\inputbemerkung
{}
{
Eine komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ mit rationalen Koeffizienten und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden
\zusatzklammer {das allerdings nicht mehr normiert ist} {} {.}
Eine rationale Zahl $q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms
\mathl{X-q}{} ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen
\mathkor {} {\sqrt{q}} {und} {q^{1/n}} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
algebraisch. Dagegen sind die Zahlen $e$ und $\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von $\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
von $L$. Dann heißt $L$ ein \definitionswort {Erweiterungskörper}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Oberkörper}{}} {} {}
von $K$ und die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine \definitionswort {Körpererweiterung}{.}
}
Eine $K$-Algebra $A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper $K$ auffassen \zusatzklammer {ist $K$ kein Körper, so ist eine $K$-Algebra ein $K$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}} {} {} Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Durch den Vektorraumbegriff hat man sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {endlich}{,} wenn $L$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler Vektorraum}{}{}
über $K$ ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Dann nennt man die
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumdimension}{}{}
von $L$ den \definitionswort {Grad}{} der Körpererweiterung.
}
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einer Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert durch Multiplikation eine $K$-lineare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi_f} {L} {L
} {y} {fy
} {.}
Über diese Konstruktion werden Norm und Spur von $f$ erklärt.
\inputbemerkung
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eines endlichdimensionalen $K$-Vektorraumes $V$ in sich wird die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\mathl{\det (\varphi)}{} und die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
$S(\varphi)$ wie folgt berechnet. Man wählt eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische
\mathl{n \times n}{-}Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda_{1,1} & \cdots & \lambda_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda_{n,1} & \cdots & \lambda_{n,n} \end{pmatrix}} { }
mit
\mathl{\lambda_{ij} \in K}{} und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus
dem Determinantenmultiplikationssatz,
dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(\varphi)
}
{ =} { \lambda_{1,1}+ \lambda_{2,2} + \cdots + \lambda_{n,n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben, und dies ist
nach Aufgabe 15.12
ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zu einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
$K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\mu_f} {L} {L
} {y} {fy
} {,}
die \definitionswort {Norm}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{N(f)}{} bezeichnet.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zu einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
der
$K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\mu_f} {L} { L
} {y} { fy
} {,}
die \definitionswort {Spur}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{Spur} { \left( f \right) }}{} bezeichnet.
}
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Dann hat die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\maabbeledisp {N} {L} {K
} {f} {N(f)
} {,}
folgende Eigenschaften:
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(fg)
}
{ = }{ N(f) N(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mathl{f \in K}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(f)
}
{ = }{f^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $n$ den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der Körpererweiterung bezeichne.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Dies folgt aus
dem Determinantenmultiplikationssatz
und
Lemma 8.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).
}{Zu einer beliebigen Basis von $L$ wird die Multiplikation mit einen Element
\mathl{f \in K}{} durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag $f$ ist. Die Determinante ist daher $f^n$ nach
Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
}{Die eine Richtung ist klar, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $f$ eine Einheit in $L$ und daher ist die Multiplikation mit $f$ eine bijektive $K$-lineare Abbildung
\maabb {} {L} {L
} {,}
und deren Determinante ist $\neq 0$ nach
Fakt *****.
}
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathl{n}{.} Dann hat die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
\maabbeledisp {S} {L} {K
} {f} {S(f)
} {,}
folgende Eigenschaften:
\aufzaehlungzwei {Die Spur ist
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(f+g)
}
{ = }{S(f)+S(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S(\lambda f)
}
{ = }{ \lambda S(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mathl{\lambda \in K}{.}
} {Für
\mathl{f \in K}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(f)
}
{ = }{ nf
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{
Dies folgt aus den Definitionen.
Eine Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
heißt \stichwort {einfach} {,} wenn sie von einem Element $f$ erzeugt wird. Das bedeutet, dass es außer $L$ keinen Körper zwischen $K$ und $L$ gibt, der $f$ enthält. Das Element $f$ nennt man dann auch ein \stichwort {primitives Element} {} der Körpererweiterung. Ist $L$ endlich und einfach, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { K[f]
}
{ \cong} { K[X]/(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $P$ das Minimalpolynom von $f$ ist.
\inputfaktbeweis
{Endliche einfache Körpererweiterung/Norm und Spur im Minimalpolynom des Erzeugers/Fakt}
{Satz}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{K[f]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine einfache
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$. Dann hat das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$P$ von $f$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { X^n- S(f)X^{n-1} + \cdots + (-1)^n N(f)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Das Minimalpolynom und das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
der durch $f$ definierten $K$-linearen
\definitionsverweis {Multiplikationsabbildung}{}{}
\maabbeledisp {\mu_f} { L} { L
} {y} { fy
} {,}
haben beide den Grad $n$. Nach
dem Satz von Cayley-Hamilton
annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Es sei bezüglich einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $L$ diese lineare Abbildung $\mu_f$ durch die Matrix
\mathl{{ \left( \lambda_{ij} \right) }_{ij}}{} gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{\mu_f}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X- \lambda_{1,1} & \cdots & - \lambda_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ - \lambda_{n,1} & \cdots & X- \lambda_{n,n} \end{pmatrix}
}
{ =} { X^n +a_{n-1}X^{n-1}+ \cdots + a_1X +a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Koeffizienten
\mathl{a_{n-1}}{} leisten
\zusatzklammer {in
der Leibniz-Formel
zur Berechnung der Determinante} {} {}
nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen
\mathl{(n-1)}{-}mal die Variable $X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation
\zusatzklammer {also der Diagonalen} {} {}
der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich
\mathl{X^n- \sum_{i=1}^n \lambda_{i,i}X^{n-1} + \ldots}{,} sodass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{n-1}
}
{ = }{ - S(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Setzt man in der obigen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ergibt sich, dass $a_0$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ = }{(-1)^n N(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{K \subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Sie heißt \definitionswort {separabel}{,} wenn für jedes Element
\mathl{x \in L}{} das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{} ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.
}
In unserem Zusammenhang, wo wir uns für Körpererweiterungen von $\Q$ interessieren, also in Charakteristik $0$ sind, ist eine Körpererweiterung stets separabel \zusatzklammer {siehe Aufgabe 15.26} {} {,} und wir haben den folgenden \stichwort {Satz vom primitiven Element} {} zur Verfügung.
{Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt}
{Satz}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{.}
Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein
\mathl{f \in L}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { K(f)
}
{ \cong} { K[X]/(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom
\mathl{P \in K[X]}{.}
}}
{Dies ist ein wichtiges Standardresultat aus der Theorie der Körpererweiterungen.
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