Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Diskriminanten}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und seien
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} Elemente in $L$. Dann wird die \definitionswort {Diskriminante}{} von
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ =} { \det \left( \operatorname{Spur} { \left( b_ib_j \right) }_{i,j} \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}
Die Produkte
\mathbed {b_ib_j} {}
{1 \leq i,j \leq n} {}
{} {} {} {,}
sind dabei Elemente in $L$, von denen man jeweils die Spur nimmt, die in $K$ liegt. Man erhält also eine quadratische
\mathl{n \times n}{-}Matrix über $K$. Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein, sodass sich die Diskriminante als Invariante eines Zahlkörpers erweist.
Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und seien
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} und
\mathl{c_1 , \ldots , c_n}{}
$K$-\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $L$. Der Basiswechsel werde durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{Tb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ { \left( t_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Dann gilt für die
\definitionsverweis {Diskriminanten}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (c_1 , \ldots , c_n)
}
{ =} { (\det( T))^2 \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i
}
{ = }{\sum_{j = 1}^n t_{ij} b_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_ic_k
}
{ =} { { \left( \sum_{j = 1}^n t_{ij} b_j \right) } { \left( \sum_{m = 1}^n t_{km} b_m \right) }
}
{ =} { \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} b_jb_m
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ \defeq }{S(c_ic_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{jm}
}
{ \defeq }{S(b_jb_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
der $K$-Linearität der Spur
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} {S(c_ic_k)
}
{ =} {S { \left( \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} b_jb_m \right) }
}
{ =} { \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} S(b_jb_m )
}
{ =} { \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} b_{jm}
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ { \left( c_{ik} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ { \left( b_{jm} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ { \left( t_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {T^{\rm transp} B T
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Behauptung folgt dann aus
dem Determinantenmultiplikationssatz
und
Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)).
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable}{}{}
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik $0$.
Es sei angenommen, dass die Diskriminante $0$ ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix
\mathl{S(b_ib_j)_{ij}}{} definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\lambda_1 , \ldots , \lambda_n)
}
{ \in }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n \lambda_i S(b_ib_j)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $j$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n \lambda_i b_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist für jedes $j$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(xb_j)
}
{ =} { S { \left( { \left( \sum_{i = 1}^n \lambda_i b_i \right) } b_j \right) }
}
{ =} { S { \left( \sum_{i = 1}^n \lambda_i b_ib_j \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n \lambda_i S( b_ib_j )
}
{ =} { 0
}
}
{}{}{.}
Da $x$ eine Einheit in $L$ ist, ist auch
\mathbed {xb_j} {}
{j=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
eine $K$-Basis von $L$ und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert $0$ hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht möglich: In Charakteristik $0$ folgt dies sofort aus
Lemma 15.14 (2).
\zwischenueberschrift{Beschreibung von Spur und Norm mit Einbettungen}
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$. Dann gibt es genau $n$ Einbettungen von $L$ in die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$.
}
{
Nach
dem Satz vom primitiven Element
wird $L$ durch ein Element erzeugt, es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { \Q (x)
}
{ \cong} { \Q [X]/(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem irreduziblen Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{\Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $n$. Da $F$ irreduzibel ist und da die Ableitung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und kleineren Grad besitzt, folgt, dass
\mathkor {} {F} {und} {F'} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind. Nach
Satz 3.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
ergibt sich, dass
\mathkor {} {F} {und} {F'} {}
das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
erzeugen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ AF+BF'
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wir betrachten diese Polynome nun als Polynome in
\mathl{{\mathbb C}[X]}{,} wobei die polynomialen Identitäten erhalten bleiben. Über den komplexen Zahlen zerfallen
\mathkor {} {F} {und} {F'} {}
in Linearfaktoren, und wegen der Teilerfremdheit bzw. der daraus resultierenden Identität haben
\mathkor {} {F} {und} {F'} {}
keine gemeinsame Nullstelle. Daraus folgt wiederum, dass $F$ keine mehrfache Nullstelle besitzt, sondern genau $n$ verschiedene komplexe Zahlen
\mathl{z_1 , \ldots , z_n}{} als Nullstellen besitzt. Jedes $z_i$ definiert nun einen Ringhomomorphismus
\maabbeledisp {\rho_i} {L \cong \Q [X]/(F) } { {\mathbb C}
} {X} { z_i
} {.}
Da $L$ ein Körper ist, ist diese Abbildung injektiv. Da dabei $X$ auf verschiedene Elemente abgebildet wird, liegen $n$ verschiedene Abbildungen vor. Es kann auch keine weiteren Ringhomomorphismen
\maabb {} {L} {{\mathbb C}
} {}
geben, da jeder solche durch
\mathl{X \mapsto z}{} gegeben ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(z)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein muss.
Man beachte im vorstehenden Satz, dass das Bild von verschiedenen Einbettungen
\maabbdisp {\rho_i} {L} { {\mathbb C}
} {}
der gleiche Unterkörper von ${\mathbb C}$ sein kann. Dies gilt bereits für quadratische Erweiterungen wie
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}{.} Man hat die beiden Einbettung
\maabb {\rho_1, \rho_2} { \Q[{ \mathrm i}]} {{\mathbb C}
} {,}
wobei die eine Abbildung ${ \mathrm i}$ auf ${ \mathrm i}$ und die andere ${ \mathrm i}$ auf $-{ \mathrm i}$ schickt. Das Bild ist aber in beiden Fällen gleich.
Wenn das Bild einer Einbettung ganz in den reellen Zahlen liegt, so spricht man auch von einer reellen Einbettung. Zu einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die verschiedenen komplexen Zahlen
\mathdisp {z_1=\rho_1(z) , \ldots , z_n= \rho_n(z)} { }
zueinander konjugiert. Diese sind allesamt Nullstellen eines irreduziblen Polynoms $F$ mit rationalen Koeffizienten vom Grad $n$.
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Es seien
\maabbdisp {\rho_1 , \ldots , \rho_n} {L } {{\mathbb C}
} {}
die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\{ y_1 , \ldots , y_k\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge der verschiedenen Werte
\mathl{\rho_i(z)}{.} Dann gilt in
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} für das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$G$ von $z$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { (X- y_1)(X-y_2) \cdots (X-y_k)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der von $z$ erzeugte Unterkörper von $L$. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \cong} { \Q[X]/(G)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit dem
\zusatzklammer {normierten} {} {}
Minimalpolynom $G$ von $z$ und $K$
\zusatzklammer {bzw. $G$} {} {}
haben den Grad $m$ über $\Q$. Gemäß
Satz 16.4
gibt es $m$ Einbettungen
\maabb {\sigma} {K } {{\mathbb C}
} {,}
die den komplexen Nullstellen $M'$ von $G$ entsprechen, und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { \prod_{ \sigma } (X-\sigma(z))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die $n$ Einbettungen
\maabb {\rho_i} {L} {{\mathbb C}
} {}
induzieren jeweils eine Einbettung
\maabb {\sigma_i = \rho_i{{|}}_K} {K} {{\mathbb C}
} {}
und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\rho_i(z)
}
{ = }{ \sigma_i (z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{M'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Andererseits lässt sich eine Einbettung
\maabb {\sigma} {K} { {\mathbb C}
} {}
zu einer Einbettung
\maabb {} {L} {{\mathbb C}
} {}
fortsetzen, da $L$ über $K$
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist und nach
dem Satz vom primitiven Element
von einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über ${\mathbb C}$ zerfällt. Daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M'
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir erwähnen ohne Beweis die folgende Beschreibung von Norm und Spur, die wir aber in der Vorlesung nicht intensiv verwenden werden.
{Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und seien
\maabb {\rho_i} {L} {{\mathbb C}
} {}
die $n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_i
}
{ = }{ \rho_i(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathdisp {N(z) = z_1 \cdots z_n \text{ und } \operatorname{Spur} { \left( z \right) } = z_1 + \cdots + z_n} { . }
}}
{Wir verzichten auf einen Beweis.
\zwischenueberschrift{Moduln und Ideale}
Für den Begriff des Ganzheitsringes in einem Erweiterungskörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
benötigen wir den Begriff des Moduls, der den eines Vektorraums in dem Sinne verallgemeinert, dass der Skalarenbereich kein Körper mehr sein muss, sondern ein beliebiger kommutativer Ring sein darf.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ (M,+,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \stichwort {additiv} {} geschriebene
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Man nennt $M$ einen
\definitionswortpraemath {R}{ Modul }{,}
wenn eine Operation
\maabbeledisp {} {R \times M } { M
} {(r,v)} { rv = r\cdot v
} {,}
\zusatzklammer {\stichwort {Skalarmultiplikation} {} genannt} {} {}
festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R}{} und \mathlk{u,v \in M}{} beliebig} {} {:}
\aufzaehlungvier{
\mathl{r(su) = (rs) u}{,}
}{
\mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,}
}{
\mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,}
}{
\mathl{1u = u}{.}
}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswortpraemath {R}{ Untermodul }{,}
wenn sie eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{(M,0,+)}{} ist und wenn für jedes
\mathl{u \in U}{} und
\mathl{r \in R}{} auch
\mathl{ru \in U}{} ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Eine Familie
\mathbed {v_i \in M} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
heißt \definitionswort {Erzeugendensystem}{} für $M$, wenn es für jedes Element
\mathl{v \in M}{} eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{i \in J} r_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, wobei
\mathl{J \subseteq I}{} endlich ist und
\mathl{r_i \in R}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Der Modul $M$ heißt \definitionswort {endlich erzeugt}{} oder \definitionswort {endlich}{,} wenn es ein
\definitionsverweis {endliches}{}{}
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
für ihn gibt
\zusatzklammer {also mit einer endlichen Indexmenge} {} {.}
}
Ein kommutativer Ring $R$ selbst ist in natürlicher Weise ein $R$-Modul, wenn man die Ringmultiplikation als Skalarmultiplikation interpretiert. Die Ideale sind dann genau die $R$-Untermoduln von $R$. Die Begriffe Ideal-Erzeugendensystem und Modul-Erzeugendensystem stimmen für Ideale überein.
Unter den Idealen sind besonders die Primideale und die maximalen Ideale relevant.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak p}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Primideal}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r \cdot s
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt:
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Primelement und Primhauptideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Dann ist $p$ genau dann ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{,}
wenn das von $p$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
\mathl{(p)}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist ${\mathfrak p}$ genau dann ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{,}
wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak p}}{}
ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei zunächst ${\mathfrak p}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \subset }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist der Restklassenring
\mathl{R/{\mathfrak p}}{} nicht der Nullring. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/ {\mathfrak p}}{} wobei $f,g$ durch Elemente in $R$ repräsentiert seien. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} was in $R/{\mathfrak p}$ gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet.
Ist umgekehrt
\mathl{R/{\mathfrak p}}{} ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $R/{\mathfrak p}$ und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/{\mathfrak p}}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {maximales Ideal}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \neq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn es zwischen ${\mathfrak m}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und ${\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist ${\mathfrak m}$ genau dann ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{,}
wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak m}}{} ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Aufgabe 9.15
entsprechen die Ideale im Restklassenring $R/{\mathfrak m}$ eindeutig den Idealen in $R$ zwischen ${\mathfrak m}$ und $R$. Nun ist $R/{\mathfrak m}$ ein Körper genau dann, wenn es genau nur zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn
\mathl{{\mathfrak m} \neq R}{} ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass ${\mathfrak m}$ maximal ist.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Primideal/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und ${\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist ${\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt sofort aus den Charakterisierungen für Primideale und für maximale Ideale mit den Restklassenringen.
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