Eine lineare Abbildung
Die Wirkungsweise von verschiedenen linearen Abbildungen des
R
2
{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}
φ
:
K
n
⟶
K
m
{\displaystyle \varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}}
ist nach
Fakt
durch die Bilder
φ
(
e
j
)
{\displaystyle {}\varphi (e_{j})}
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle {}j=1,\ldots ,n}
φ
(
e
j
)
{\displaystyle {}\varphi (e_{j})}
φ
(
e
j
)
=
∑
i
=
1
m
a
i
j
e
i
{\displaystyle {}\varphi (e_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}\,}
und damit durch die Elemente
a
i
j
{\displaystyle {}a_{ij}}
m
n
{\displaystyle {}mn}
a
i
j
{\displaystyle {}a_{ij}}
1
≤
i
≤
m
{\displaystyle {}1\leq i\leq m}
1
≤
j
≤
n
{\displaystyle {}1\leq j\leq n}
Festlegungssatz
gilt dies, sobald sowohl im Definitionsraum als auch im Zielraum der linearen Abbildung eine Basis fixiert ist.
Es sei
K
{\displaystyle {}K}
Körper und sei
V
{\displaystyle {}V}
n
{\displaystyle {}n}
dimensionaler Vektorraum
mit einer
Basis
v
=
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle {}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}}
W
{\displaystyle {}W}
m
{\displaystyle {}m}
w
=
w
1
,
…
,
w
m
{\displaystyle {}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}}
Zu einer
linearen Abbildung
φ
:
V
⟶
W
{\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}
heißt die
m
×
n
{\displaystyle {}m\times n}
Matrix
M
=
M
w
v
(
φ
)
=
(
a
i
j
)
i
j
,
{\displaystyle {}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,}
wobei
a
i
j
{\displaystyle {}a_{ij}}
i
{\displaystyle {}i}
Koordinate
von
φ
(
v
j
)
{\displaystyle {}\varphi (v_{j})}
w
{\displaystyle {}{\mathfrak {w}}}
beschreibende Matrix zu
φ
{\displaystyle {}\varphi }
Zu einer Matrix
M
=
(
a
i
j
)
i
j
∈
Mat
m
×
n
(
K
)
{\displaystyle {}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)}
v
j
⟼
∑
i
=
1
m
a
i
j
w
i
{\displaystyle v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}}
gemäß
Fakt
definierte lineare Abbildung
φ
w
v
(
M
)
{\displaystyle {}\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)}
durch
M
{\displaystyle {}M}
festgelegte lineare Abbildung .
Bei einer linearen Abbildung
φ
:
K
n
→
K
m
{\displaystyle {}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}}
φ
:
V
→
V
{\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}
Endomorphismus nennt, nimmt man häufig vorne und hinten die gleiche Basis. Die Identität auf einem Vektorraum der Dimension
n
{\displaystyle {}n}
Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.
Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix
M
=
(
a
i
j
)
i
j
{\displaystyle {}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}}
M
w
v
(
φ
w
v
(
M
)
)
.
{\displaystyle M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)).}
Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar
(
i
,
j
)
{\displaystyle {}(i,j)}
die Einträge übereinstimmen. Es ist
(
M
w
v
(
φ
w
v
(
M
)
)
)
i
j
=
i
−
te Koordinate von
(
φ
w
v
(
M
)
)
(
v
j
)
=
i
−
te Koordinate von
∑
i
=
1
m
a
i
j
w
i
=
a
i
j
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M))(v_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}}
Es sei nun
φ
{\displaystyle {}\varphi }
φ
w
v
(
M
w
v
(
φ
)
)
.
{\displaystyle \varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )).}
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach
Fakt
überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}
(
φ
w
v
(
M
w
v
(
φ
)
)
)
(
v
j
)
=
∑
i
=
1
m
(
M
w
v
(
φ
)
)
i
j
w
i
.
{\displaystyle {}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )))(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}\,w_{i}\,.}
Dabei ist nach Definition der Koeffizient
(
M
w
v
(
φ
)
)
i
j
{\displaystyle {}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}}
i
{\displaystyle {}i}
φ
(
v
j
)
{\displaystyle {}\varphi (v_{j})}
w
1
,
…
,
w
m
{\displaystyle {}w_{1},\ldots ,w_{m}}
φ
(
v
j
)
{\displaystyle {}\varphi (v_{j})}
◻
{\displaystyle \Box }
