Lokaler regulärer Ring/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein noetherscher lokaler Ring ${}(R,{\mathfrak {m}})$ der Dimension ${}n$ heißt regulär, wenn es ${}n$ Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ gibt, die das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ erzeugen.

Ein regulärer nulldimensionaler lokaler Ring ist einfach ein Körper. Eindimensionale reguläre lokale Ringe nennt man auch diskrete Bewertungsringe. In ihnen wird das maximale Ideal durch ein Element ${}\neq 0$ erzeugt.

Beispiel

Zu einem Körper ${}K$ und Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ ist die Lokalisierung

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}$

ein lokaler regulärer Ring. Er besitzt die Dimension ${}n$ und das maximale Ideal wird eben durch ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ erzeugt.

Wenn ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$ ist, so ist auch die Lokalisierung des Polynomrings am maximalen Ideal ${}(X-a_{1},\ldots ,X-a_{n})$ regulär, und zwar isomorph zur Lokalisierung im Nullpunkt ${}(0,\ldots ,0)$. Es ist schwieriger zu zeigen, dass überhaupt die Lokalisierung an jedem maximalen Ideal

${}{\mathfrak {m}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

ein lokaler regulärer Ring der Dimension ${}n$ ist, siehe Aufgabe.

Beispiel

Wir betrachten die Neilsche Parabel ${}V=V{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$. In jedem Punkt ${}P\in V$ ist die Einbettungsdimension des lokalen Ringes

${}{\mathcal {O}}_{P}=K[X,Y]_{{\mathfrak {n}}_{P}}/{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\,$

höchstens ${}2$, da dies für ${}K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ gilt. Dabei ist ${}{\mathfrak {n}}_{P}$ das zugehörige maximale Ideal im Polynomring und ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ sei das maximale Ideal im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{P}$. Es gilt

${}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}\,.$

Bei ${}P=(0,0)$ ist ${}{\mathfrak {n}}_{P}=(X,Y)$ und ${}X^{2}-Y^{3}\in {\mathfrak {n}}_{P}^{2}$, also ist

${}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}={\mathfrak {n}}_{P}/{\mathfrak {n}}_{P}^{2}=K^{2}\,$

und die Einbettungsdimension ist ${}2$. Der lokale Ring im Nullpunkt ist also nicht regulär. Im Punkt ${}Q=(1,1)$ ist ${}{\mathfrak {n}}_{Q}=(X-1,Y-1)$ und wir schreiben ${}X^{2}-Y^{3}=(X-1)(X+1)-(Y-1){\left(Y^{2}+Y+1\right)}$. In ${}{\mathcal {O}}_{Q}$ gilt daher

${}X-1={\frac {Y^{2}+Y+1}{X+1}}(Y-1)\,,$

wobei eben die rationale Funktion zu ${}{\mathcal {O}}_{Q}$ gehört. Daher ist dort

${}{\mathfrak {m}}_{Q}={\left(Y-1\right)}\,$

und die Einbettungsdimension ist ${}1$. Der lokale Ring in ${}(1,1)$ ist also regulär.

Lemma

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler regulärer Ring der Dimension ${}d$ und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ Elemente. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es gibt Elemente ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ mit ${}(f_{1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}$.
2. Die Restklassen von ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ sind linear unabhängig über ${}K=R/{\mathfrak {m}}$.
3. Der Restklassenring ${}R/(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ist regulär der Dimension ${}d-n$.

Beweis

Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ist ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Vektorraum, der nach dem Lemma von Nakayama die Dimension ${}d$ besitzt. Wenn

${}(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,$

ist, so bilden die Restklassen eine Basis von ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklasen von ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ linear unabhängig sind, so lassen diese sich nach dem Basisergänzungssatz durch ${}g_{n+1},\ldots ,g_{d}\in {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ zu einer Basis von ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt

${}(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,.$

Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen

${}{\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\,.$

Es sei zunächst wieder durch ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von ${}{\mathfrak {m}}$ gegeben. Dann sind die Restklassen von ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ in ${}R/{\mathfrak {a}}$ ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals

${}{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}/{\mathfrak {a}}\,$

von ${}R/{\mathfrak {a}}$. Damit ist die Einbettungsdimension von ${}R/{\mathfrak {a}}$ gleich ${}d-n$ und somit ist nach Fakt die Dimension von ${}R/{\mathfrak {a}}$ höchstens ${}d-n$. Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest ${}d-n$ nach Fakt. Wäre nämlich die Dimension von ${}R/{\mathfrak {a}}$ gleich

${}m<d-n\,,$

so würde es Parameter

${}g_{1},\ldots ,g_{m}\in R/{\mathfrak {a}}\,$

geben, und diese würden zusammen mit den ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${}R$ das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach Fakt nicht sein kann.

Wenn umgekehrt ${}R/{\mathfrak {a}}$ regulär der Dimension ${}d-n$ ist, so sei

${}{\mathfrak {n}}=(g_{n+1},\ldots ,g_{d})\,.$

Diese ${}g_{i}$ werden durch ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ repräsentiert und die ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugen ${}{\mathfrak {m}}$.

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Satz

Ein regulärer lokaler Ring

ist ein Integritätsbereich.

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension ${}d$ von ${}R$. Bei ${}d=0$ ist ${}{\mathfrak {m}}=0$ und es liegt ein Körper vor. Es sei die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Es seien ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ die minimalen Primideale von ${}R$. Es ist ${}n=1$ und ${}{\mathfrak {p}}_{1}=0$ zu zeigen. Wir wenden Fakt auf diese Primideale und auf ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {m}}$ und ${}{\mathfrak {b}}={\mathfrak {m}}^{2}$ an. Es ist ${}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$, da die Dimension zumindest ${}1$ ist, und es ist ${}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}$, denn sonst wäre ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=0$. Somit ist ${}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cup \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$, d.h. es gibt ein ${}h\in {\mathfrak {m}}$, das in keinem minimalen Primideal und nicht in ${}{\mathfrak {m}}^{2}$ enthalten ist. Nach Fakt ist ${}R/(h)$ ein regulärer Ring der Dimension ${}d-1$, es ist also ein Integritätsbereich nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist das Hauptideal ${}(h)$ ein Primideal in ${}R$. Da jedes Primideal ein minimales Primideal umfasst, gilt

${}{\mathfrak {p}}_{i}\subseteq (h)\,$

für ein ${}i$, und die Inklusion muss nach der Wahl von ${}h$ echt sein. Somit muss

${}{\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {a}}\cdot (h)\,$

mit einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ sein. Aus der Primeigenschaft in Verbindung mit ${}h\notin {\mathfrak {p}}_{i}$ folgt

${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}\,$

und somit

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{i}\,.$

Die Gleichheit

${}{\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}_{i}\cdot (h)\,$

erzwingt aber nach dem Lemma von Nakayama ${}{\mathfrak {p}}_{i}=0$.

$\Box$