Meromorphe Funktion/Körper/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge. Eine meromorphe Funktion auf ${}U$ ist gegeben durch eine diskrete Menge ${}D\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion

$f\colon U\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

derart, dass für jedes ${}w\in D$ der Limes ${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,f(z)$ in ${}{\mathbb {C} }$ existiert oder gleich ${}\infty$ ist.

Mit der Formulierung

${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,f(z)=\infty \,$

meint man, dass

${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,\vert {f(z)}\vert =+\infty \,$

gilt, und damit meint man, dass es zu jedem ${}B\in \mathbb {R}$ ein ${}R\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass für alle ${}z\in U{\left(w,R\right)}$ die Abschätzung

${}\vert {f(z)}\vert \geq B\,$

gilt. Dies ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${}z_{n}$, die gegen ${}w$ konvergiert, die Bildfolge ${}\vert {f(z_{n})}\vert$ bestimmt gegen ${}+\infty$ divergiert. Typische Beispiele für dieses Verhalten sind die inversen Potenzfunktionen ${}{\frac {1}{z^{n}}}$ mit ${}n\geq 1$.

Man identifiziert meormorphe Funktionen ${}f$ und ${}g$ auf ${}U$, wenn es eine diskrete Teilmenge ${}D\subseteq U$ derart gibt, dass beide Funktionen auf ${}U\setminus D$ holomorph sind und dort übereinstimmen. Für jede meromorphe Funktion ${}f$ gibt es eine kleines diskrete Menge derart, dass ${}f$ außerhalb davon definiert ist, siehe Aufgabe. Meromorphe Funktionen ${}f$ und ${}g$ werden miteinander addiert bzw. multipliziert, indem man zu einer Menge ${}U\setminus D$ übergeht, auf der beide holomorph sind, und dort die Operationen ausführt.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und es seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit ${}g\neq 0$.

Dann ist ${}f/g$ eine meromorphe Funktion auf ${}U$.

Beweis

Nach Fakt ist die Nullstellenmenge von ${}g$ diskret. Außerhalb der Nullstellenmenge ist ${}f/g$ eine holomorphe Funktion. Es sei ${}g(P)=0$ und sei ${}P\in V\subseteq U$ eine offene Umgebung, auf der ${}g$ außer ${}P$ keine Nullstelle besitzt und auf der ${}g$ durch eine Potenzreihe beschreibbar ist. Die beschreibende Potenzreihe hat die Gestalt

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}=(z-P)^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{k+m}(z-P)^{m}\right)}=(z-P)^{k}h(z)\,$

mit ${}k\geq 1$ und ${}c_{k}\neq 0$. Hierbei ist ${}h$ eine holomorphe Funktion mit ${}h(P)\neq 0$, also ist auch ${}{\frac {1}{h}}$ holomorph in einer offenen Umgebung ${}W\subseteq V$ von ${}P$. Auf ${}W\setminus \{P\}$ ist

${}{\frac {f}{g}}={\frac {f}{(z-P)^{k}h}}={\frac {1}{(z-P)^{k}}}\cdot {\frac {f}{h}}\,,$

wobei ${}{\frac {f}{h}}$ einen wohldefinierten Limes für ${}z\rightarrow P$ besitzt. Es geht also nur noch um das Limesverhalten von ${}\vert {\frac {1}{w^{k}}}\vert$ für ${}w\rightarrow 0$. Dieser Limes ist aber ${}\infty$.

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Insbesondere sind rationale Funktionen meromorphe Funktionen auf ${}{\mathbb {C} }$. Die Funktion

${}{\frac {1}{e^{z}}}=e^{-z}\,$

ist holomorph, aber nicht rational, die Funktion ${}{\frac {1}{\sin z}}$ ist meromorph, aber nicht holomorph und auch nicht rational. Es ist eine nichttriviale Aussage, dass man jede meromorphe Funktion als einen Quotienten von zwei holomorphen Funktionen auf ${}U$ schreiben kann.

Die folgende Aussage heißt Identitätssatz für meromorphe Funktionen.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und es seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ meromorphe Funktionen auf ${}U$. Es sei ${}D$ die Menge der Polstellen von ${}f$ oder von ${}g$. Die Übereinstimmungsmenge ${}{\left\{z\in U\setminus D\mid f(z)=g(z)\right\}}$ habe einen Häufungspunkt in ${}U$.

Dann ist ${}f=g$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet.

Dann ist die Menge der meromorphen Funktionen auf ${}G$ mit den natürlichen Verknüpfungen ein Körper.

Beweis

Es ist klar, dass ein kommutativer Ring vorliegt. Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$ auf ${}G$, die auf ${}G\setminus D$ holomorph sei. Nach Fakt ist die Nullstellenmenge ${}E$ von ${}f$ innerhalb von ${}G\setminus D$ diskret. Somit ist ${}f^{-1}$ auf ${}G\setminus {\left(D\cup E\right)}$ nach Fakt holomorph und aus den Nullstellen von ${}f$ werden Polstellen und umgekehrt.

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