Metrischer Raum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn ${}x=y$ ist (Definitheit),
2. ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
3. ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${}(M,d)$, wobei ${}M$ eine Menge und ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.

Man kann leicht aus den Bedingungen folgern, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert ${}d(x,y)$ gibt den Abstand der Punkte ${}x$ und ${}y$ bezüglich ${}d$ an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden.

Beispiel

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

${}d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$

der zugehörige Abstand. Dieser besitzt nach Fakt die Eigenschaften einer Metrik. Insbesondere ist im ${}\mathbb {R} ^{n}$ der durch

${}d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\,$

gegebene euklidische Abstand eine Metrik.

Wenn wir nichts anderes sagen, so versehen wir den ${}\mathbb {R} ^{n}$ und den ${}{\mathbb {C} }^{n}\cong \mathbb {R} ^{2n}$ stets mit dem euklidischen Abstand. Insbesondere sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ mit der durch den Betrag definierten Metrik metrische Räume. Als gemeinsame Bezeichnung für ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$ werden wir wieder ${}{\mathbb {K} }$ verwenden.

Die Summenmetrik heißt auch Taxi-Metrik. Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand.

Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist

${}d{\left(x,y\right)}=\sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \,$

eine Metrik, die man die Summenmetrik nennt.

Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist

${}d{\left(x,y\right)}={\max {\left(\vert {x_{i}-y_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}\,$

eine Metrik, die man die Maximumsmetrik nennt.

Beispiel

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Dann ist ${}T$ ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man

${}d_{T}(x,y):=d(x,y)\,$

für alle ${}x,y\in T$ setzt. Diese Metrik heißt die induzierte Metrik.

Beispiel

Zu einer beliebigen Menge ${}M$ kann man durch

${}d(x,y):={\begin{cases}0,\,&{\text{ falls }}x=y\,,\\1,\,&{\text{ falls }}x\neq y\,,\end{cases}}\,\,$

eine Metrik definieren, die die diskrete Metrik heißt.