Metrischer Raum/Offene und abgeschlossene Teilmengen/Textabschnitt

Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Für ${}x\in \mathbb {R}$ ist ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ einfach das beidseitig offene Intervall ${}]x-\epsilon ,x+\epsilon [$ und ${}B\left(x,\epsilon \right)$ ist einfach das beidseitig abgeschlossene Intervall ${}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]$.

Die Gestalt der Kugelumgebungen hängt von der Metrik ab.

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, ${}x\in M$ und ${}\epsilon >0$ eine positive reelle Zahl. Es ist

${}U{\left(x,\epsilon \right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<\epsilon \right\}}\,$

die offene und

${}B\left(x,\epsilon \right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq \epsilon \right\}}\,$

die abgeschlossene ${}\epsilon$-Kugel um ${}x$.

Eine Teilmenge ist offen, wenn jeder Punkt darin gleich mit einer vollen Kugelumgebung drin liegt. Bei einer solchen Menge ist es entscheidend, ob die Randpunkte dazu gehören oder nicht.

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt offen (in $(M,d)$), wenn für jedes ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ mit

${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$

existiert.

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${}A\subseteq M$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement ${}M\setminus A$ offen ist.

Achtung! Abgeschlossen ist nicht das „Gegenteil“ von offen. Die „allermeisten“ Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge.

Lemma

Es sei ${}M$ ein metrischer Raum und ${}x\in M$ ein Punkt.

Dann sind die offenen Kugeln ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ offen und die abgeschlossenen Kugeln ${}B\left(x,\epsilon \right)$ abgeschlossen.

Beweis

Sei ${}y\in U{\left(x,\epsilon \right)}$, d.h. es ist ${}d(x,y)<\epsilon$. Wir setzen ${}a=\epsilon -d(x,y)>0$ und behaupten, dass ${}U{\left(y,a\right)}\subseteq U{\left(x,\epsilon \right)}$ ist. Dazu sei ${}z\in U{\left(y,a\right)}$. Dann ist aufgrund der Dreiecksungleichung

${}d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+a=\epsilon \,$

und somit ${}z\in U{\left(x,\epsilon \right)}$. Für die zweite Behauptung siehe Aufgabe.

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Lemma

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die leere Menge ${}\emptyset$ und die Gesamtmenge ${}M$ sind offen.
2. Es sei ${}I$ eine beliebige Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung

   $\bigcup _{i\in I}U_{i}$

   offen.

3. Es sei ${}I$ eine endliche Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt

   $\bigcap _{i\in I}U_{i}$

   offen.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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