Modallogik/Universelles Modell/Textabschnitt
In einer jeden Welt in einem modallogischen Modell ist die Gültigkeitsmenge maximal widerspruchsfrei. Für zwei Welten gilt dabei
Die rechte Seite kann man also als eine notwendige Bedingung dafür ansehen, dass von aus erreichbar ist. Im universellen modallogischen Modell definiert man die Erreichbarkeitsrelation durch diese notwendige Bedingung.
Es sei , , eine Menge von Aussagenvariablen und die zugehörige modallogische Sprache. Es sei die Menge aller umfassenden, (aussagenlogisch) maximal widerspruchsfreien Teilmengen
Auf definieren wir eine Erreichbarkeitsrelation durch
Wir nennen versehen mit dieser Relation und der durch , wenn , festgelegten Belegung das universelle modallogische Modell.
Wir identifizieren also Welten mit der Menge der in ihnen gültigen modallogischen Aussagen. Wenn eine Erreichbarkeitsrelation sein soll, so muss diese Beziehung gelten. Die rechte Seite ist dabei eine Implikation, keine Äquivalenz; es wird nicht gefordert, dass aus auch folgt.
Es sei , , eine Menge von Aussagenvariablen und die zugehörige modallogische Sprache. Es sei eine -modallogische Ausdrucksmenge. Es sei die Menge aller umfassenden, (aussagenlogisch) maximal widerspruchsfreien Teilmengen
Auf definieren wir eine Erreichbarkeitsrelation durch
Wir nennen versehen mit dieser Relation und der durch , wenn , festgelegten Belegung das -universelle modallogische Modell.
Die Relation und die Belegung im -universellen modallogischen Modell stimmen mit dem universellen Modell überein, es handelt sich also um einen Teilgraphen. Es ist unser Ziel zu zeigen, dass im -universellen modallogischen Modell genau die Ausdrücke aus gelten.
Es sei ein -modallogisches System und ein modallogischer Ausdruck.
Dann folgt aus
die Beziehung
wobei
Es sei , , eine Menge von Aussagenvariablen und die zugehörige modallogische Sprache. Es sei ein -modallogisches System, es sei eine maximal widerspruchsfreie -Teilmenge und es sei ein modallogischer Ausdruck mit .
Dann gibt es eine maximal widerspruchsfreie -Teilmenge mit und mit im Sinne des -universellen modallogischen Modells.
Wir betrachten die Menge
die umfasst, da unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist. Wir behaupten, dass diese Menge widerspruchsfrei ist. Andernfalls würde es endliche viele mit geben mit
Dies schreiben wir als
Nach Fakt ist dann auch
Wegen des -Axioms ist
und somit
Da der Vordersatz zu gehört, und abgeschlossen unter Implikationen ist, ist auch
Da eine Tautologie ist und wegen der Nezessisierungsregel (die ja für Tautologien gilt) ergibt sich
was ein Widerspruch zu angesichts der Widerspruchsfreiheit von ist.
Somit ist widerspruchsfrei. Sei eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge von , die es nach Fakt gibt. Es sei . Dann ist . Andernfalls wäre nämlich wegen der Maximalität (von ) , doch dann wäre . Es gilt also .
Es sei ein -modallogisches System. Dann gilt im -universellen modallogischen Modell für jede Welt und jeden modallogischen Ausdruck
die Beziehung
Wir führen Induktion über den Aufbau der modallogischen Sprache, und zwar gleichzeitig für alle Welten. Für Aussagenvariablen gilt die Behauptung unmittelbar aufgrund der festgelegten Belegung. Die Äquivalenz ist auch unter aussagenlogischen Konstruktionen abgeschlossen, da die unter -Ableitungen abgeschlossen sind. Es bleibt noch zu zeigen, dass sich die Äquivalenz bei modallogischen Operationen erhält, wobei wir mit dem Möglichkeitsoperator arbeiten. Es sei also gegeben, wobei die Äquivalenz für und für alle Welten gelte. Wenn gilt, so gibt es eine Welt mit und . Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gilt . Wegen der Definition der Erreichbarkeitsrelation bedeutet dies insbesondere . Es sei umgekehrt . Dann folgt aus Fakt die Existenz einer von aus erreichbaren -Welt mit , also nach Induktionsvoraussetzung und somit .