Monoidring/Normalisierung/Eigenschaften dafür/Textabschnitt

Definition

Ein kommutatives Monoid ${}M$ heißt torsionsfrei, wenn für ${}m,n\in M$ aus ${}rm=rn$ für eine positive Zahl ${}r\in \mathbb {N} _{+}$ stets ${}m=n$ folgt.

Satz

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt.

Dann ist der Monoidring ${}R[M]$ ein Integritätsbereich.

Beweis

Zunächst ist ${}M\subseteq \Gamma (M)$, wobei ${}\Gamma (M)$ die Differenzengruppe zu ${}M$ bezeichnet. Damit ist ${}R[M]\subseteq R[\Gamma (M)]$ ein Unterring, und es genügt die Aussage für ${}R[\Gamma (M)]$ zu beweisen. Da ${}M$ torsionsfrei ist, ist nach Aufgabe auch ${}\Gamma (M)$ torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass ${}M$ eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Es sei nun

${}\sum _{n\in M}a_{n}X^{n}\cdot \sum _{n\in M}b_{n}X^{n}=0\,.$

Da hier fast alle Koeffizienten ${}0$ sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe ${}U$ der torsionsfreien Gruppe ${}M$ ab. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen ist dann ${}U\cong \mathbb {Z} ^{n}$. Wir können also sogar ${}M=\mathbb {Z} ^{n}$ annehmen. Dann ist aber ${}R[M]$ eine Nenneraufnahme eines Polynomringes über einem Integritätsbereich und damit integer.

$\Box$

Für ein Monoid ohne Kürzungsregel kann der zugehörige Monoidring über einem Integritätsbereich Nullteiler besitzen.

Beispiel

Es sei ${}M$ ein Monoid, in dem es zwei verschiedene Elemente ${}m$ und ${}n$ gebe mit ${}m+n=n+n$. Daraus folgt ohne die Kürzungsregel eben nicht ${}m=n$. Im Monoidring über einem beliebigen Integritätsbereich ${}R$ ist $X^{m}-X^{n}\neq 0$ und $X^{n}\neq 0$, aber

${}{\left(X^{m}-X^{n}\right)}X^{n}=X^{m+n}-X^{n+n}=X^{2n}-X^{2n}=0\,.$

Definition

Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$. Dann heißt das Untermonoid

${}{\tilde {M}}={\left\{m\in \Gamma (M)\mid {\text{ es gibt }}r\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}rm\in M\right\}}\,$

die Normalisierung von ${}M$.

Satz

Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$ und mit Normalisierung ${}{\tilde {M}}$, ${}M\subseteq {\tilde {M}}\subseteq \Gamma (M)$. Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich.

Dann ist die Normalisierung des Monoidringes ${}R[M]$ der Monoidring ${}R[{\tilde {M}}]$.

Insbesondere ist der Monoidring zu einem normalen Monoid über einem normalen Ring selbst wieder normal.

Beweis

Zunächst ist

${}R[M]\subseteq R[{\tilde {M}}]\subseteq R[\Gamma (M)]\subseteq Q(R)[\Gamma (M)]\subseteq Q(R[M])\,.$

Es sei ${}m\in {\tilde {M}}$ mit $m=n-k,\,n,k\in M$, und mit ${}rm=m+m+\cdots +m\in M$ (${}r$ mal). Damit ist ${}T^{m}=T^{n}/T^{k}$ ein Element im Quotientenkörper und nach der zweiten Eigenschaft ist ${}(T^{m})^{r}\in R[M]$. Dies bedeutet, dass eine (reine) Ganzheitsgleichung für ${}T^{m}$ vorliegt und damit ${}T^{m}$ zur Normalisierung von ${}R[M]$ gehört. Somit gilt ${}K[{\tilde {M}}]\subseteq K[M]^{\operatorname {norm} }$. Für die Umkehrung kann man ${}M$ durch ${}{\tilde {M}}$ ersetzen und sich somit auf den Fall beschränken, wo ${}M$ normal ist. Man beweist zuerst, dass für eine torsionsfreie kommutative Gruppe ${}G$ der Gruppenring ${}R[G]$ normal ist, was daraus folgt, dass der Polynomring über einem normalen Bereich wieder normal ist. Dann muss man zeigen, dass ${}R[M]$ in ${}R[\Gamma (M)]$ ganz-abgeschlossen ist. Ein Element ${}q\in R(\Gamma (M))$ und eine Ganzheitsgleichung dafür lebt im Monoidring zu einer endlich erzeugten Untergruppe ${}U\subseteq \Gamma (M)$, so dass man ${}\Gamma (M)=\mathbb {Z} ^{n}$ annehmen darf.

Hier kommt nun etwas konvexe Geometrie ins Spiel, was wir nicht ausführen. Jedenfalls lässt sich ein normales Untermonoid ${}M\subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ als der Durchschnitt (innerhalb von ${}\mathbb {Q} ^{n}$ oder ${}\mathbb {R} ^{n}$) von ${}\mathbb {Z} ^{n}$ und einem polyedrischen Kegel darstellen. Ein solcher Kegel ist selbst wiederum der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen ${}H_{i}$ (Lemma von Gordan). Dabei ist ein Halbraum ${}H$ durch eine lineare Abbildung ${}p\colon V=\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}H=p^{-1}(\mathbb {R} _{+})$ gegeben. Daraus folgt, dass ${}M$ ein endlicher Durchschnitt ${}M=\bigcap _{i\in I}M_{i}$ mit ${}M_{i}=p_{i}^{-1}(\mathbb {N} )$ ist. Daraus ergibt sich, dass die ${}M_{i}$ eine Form ${}M_{i}\cong \mathbb {N} \times \mathbb {Z} ^{n-1}$ haben. Damit ist ${}R[M]=\bigcap _{i\in I}R[M_{i}]$ nach Aufgabe normal, da die einzelnen ${}R[M_{i}]\cong R[\mathbb {N} \times \mathbb {Z} ^{n-1}]$ normal sind.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung

${}X^{2}Z=Y^{2}\,$

gegeben ist. Wir wollen sie als die Fläche zu einem Monoidring verstehen. Dazu sei

${}M=\langle (1,0),(1,1),(0,2)\rangle \subset \mathbb {N} ^{2}\,.$

Wegen ${}(1,1)-(1,0)=(0,1)$ ist ${}\mathbb {Z} ^{2}$ das Quotientengitter (Differenzengruppe). Da ${}2(0,1)=(0,2)\in M$ ist, muss ${}\mathbb {N} ^{2}$ die Normalisierung von ${}M$ sein. Die drei Erzeuger ergeben einen surjektiven Monoidhomomorphismus

$\mathbb {N} ^{3}\longrightarrow M,\,e_{i}\longmapsto m_{i}.$

Diese monomiale Abbildung ${}\mathbb {N} ^{3}\rightarrow M\subset \mathbb {N} ^{2}$ bedeutet geometrisch die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\hookrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,(s,t)\longmapsto (s,st,t^{2}).$

Dabei gehen (monomial gesehen) ${}2e_{1}+e_{3}$ und ${}2e_{2}$ beide auf das Element ${}(1,1)$, und das liefert die Gleichung ${}X^{2}Z=Y^{2}$, die man natürlich auch direkt ablesen kann.

Man kann die definierende Gleichung auch als ${}Z={\left({\frac {Y}{X}}\right)}^{2}$ ansehen. Von ${}K[X,Y]$ ausgehend wird also ein Quadrat zu ${}{\frac {Y}{X}}$ adjungiert.

Beispiel

Wir betrachten das durch $(1,0),(-1,2)$ und $(0,1)$ erzeugte Untermonoid ${}M\subseteq \mathbb {Z} ^{2}$. Für den zugehörigen Monoidring gilt ${}K[M]\cong K[X,Y,Z]/(Z^{2}-XY)$. Wir behaupten, dass das Monoid normal ist, also mit seiner Normalisierung übereinstimmt. Die beiden Erzeuger ${}(1,0)$ und ${}(-1,2)$ definieren je eine Gerade in ${}\mathbb {R} ^{2}$, und das Monoid besteht aus allen Gitterpunkten (Punkte im ${}\mathbb {Z} ^{2}$) innerhalb des durch diese Geraden definierten Kegels. Dies sieht man so: Die Gitterpunkte in diesem Kegel sind durch die beiden Bedingungen

${\left\{(s,t)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid t\geq 0{\text{ und }}t\geq -2s\right\}}$

gegeben. Ein Punkt daraus mit ${}s\geq 0$ gehört offensichtlich zu ${}M$. Es sei also ${}(s,t)$ ein Punkt daraus mit ${}s<0$. Wegen der zweiten linearen Bedingung kann man

${}(s,t)=-s(-1,2)+(t-2s)(0,1)\,$

schreiben, was wegen ${}t-2s\geq 0$ zu ${}M$ gehört.

Mit den zwei Geraden lässt sich ${}M$ auch sofort als ${}M=H_{1}\cap H_{2}$ beschreiben, mit ${}H_{1}={\left\{(s,t)\mid t\geq 0\right\}}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ und ${}H_{2}={\left\{(s,t)\mid t\geq -2s\right\}}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$, wobei die zweite Identifizierung von der ${}\mathbb {Z}$-Basis ${}(-1,2),(0,1)$ herrührt. Aus dieser expliziten Beschreibung folgt, dass der zugehörige Monoidring normal ist.