Monomiale Kurve/Multiplizität/Numerisch und Hilbert-Samuel/Textabschnitt

Zu einem numerischen Monoid ${}M\subseteq \mathbb {N}$, das von teilerfremden natürlichen Zahlen ${}e_{1}<e_{2}<\ldots <e_{r}$ erzeugt werde, wird der minimale Erzeuger, also ${}e_{1}$, auch als Multiplizität bezeichnet. Es ist zu zeigen, dass dies die „richtige“ ringtheoretische Multiplizität ergibt. Dazu sei

${}M_{+}={\left\{m\in M\mid m\geq 1\right\}}\,$

und

${}nM_{+}={\left\{m\in M\mid {\text{ es gibt eine Darstellung }}m=m_{1}+\cdots +m_{n}{\text{ mit }}m_{i}\in M_{+}\right\}}\,.$

Dies sind offensichtlich „Monoid-Ideale“ von ${}M$. Es folgt, dass die zugehörigen Mengen ${}K[nM_{+}]=\bigoplus _{m\in nM_{+}}K\,T^{m}$ Ideale im Monoidring sind. Und zwar ist ${}{\mathfrak {m}}=K[M_{+}]$ ein maximales Ideal, und die Potenzen davon sind ${}{\mathfrak {m}}^{n}=K[nM_{+}]$.

Lemma

Sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid mit (numerischer) Multiplizität ${}e_{1}$ und sei ${}\ell$ eine Zahl mit ${}\mathbb {N} _{\geq \ell }\subseteq M$.

Dann gelten für die Mächtigkeit der Differenzmenge ${}M-nM_{+}$ die Abschätzungen

${}ne_{1}-\ell \leq {\#\left(M-nM_{+}\right)}\leq (n-1)e_{1}+\ell \,.$

Beweis

Die Abschätzung nach unten folgt daraus, dass die kleinste Zahl in ${}nM_{+}$ genau ${}ne_{1}$ ist, die natürlichen Zahlen ${}0,1,\ldots ,ne_{1}-1$ liegen also außerhalb davon. Dabei liegen die Zahlen ${}\geq \ell$ in ${}M$, sodass von diesen ${}ne_{1}$ Zahlen mindestens ${}ne_{1}-\ell$ zu ${}M$, aber nicht zu ${}nM_{+}$ gehören.

Zur Abschätzung nach oben behaupten wir, dass alle Zahlen ${}\geq (n-1)e_{1}+\ell$ zu ${}nM_{+}$ gehören. Es sei ${}x\geq (n-1)e_{1}+\ell$. Dann ist $x=(n-1)e_{1}+\ell '$ mit $\ell '\geq \ell$ und daher ist ${}\ell '\in M$. Also liegt direkt eine Zerlegung von ${}x$ in ${}n$ Summanden aus ${}M$ vor.

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Korollar

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität ${}e_{1}$. Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(M_{+})$ das maximale Ideal des Monoidringes ${}K[M]$, das dem Nullpunkt entspricht.

Dann gilt

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\dim _{K}{\left(K[M]/{\mathfrak {m}}^{n}\right)}}{n}}=e_{1}\,.$

Das heißt, dass die numerische Multiplizität mit der Hilbert-Samuel Multiplizität übereinstimmt.

Beweis

Der Restklassenring

${}K[M]/{\mathfrak {m}}^{n}=K[M]/(nM_{+})\,$

hat die Elemente aus ${}M\setminus nM_{+}$ als ${}K$-Basis. Deren Anzahl ist also die Dimension davon. Aufgrund der in Fakt bewiesenen Abschätzungen konvergiert der Ausdruck ${}{\frac {\#\left(M\setminus nM_{+}\right)}{n}}$ für ${}n\mapsto \infty$ gegen ${}e_{1}$. Daher gilt diese Konvergenz auch für die Dimensionen.

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