Normales Schema/Divisorenklassengruppe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper ${}K$. Dann nennt man die Restklassengruppe

${}\operatorname {DKG} {\left(X\right)}=\operatorname {Div} \,(X)/\operatorname {HDiv} \,(X)\,$

die Divisorenklassengruppe von ${}X$.

Für einen noetherschen normalen Integritätsbereich ${}R$ nennt man entsprechend ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=\operatorname {DKG} {\left(\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\right)}$ die Divisorenklassengruppe des Rings ${}R$. Im zahlentheoretischen Kontext, wenn ${}R$ der Ring der ganzen Zahlen in einer endlichen Erweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist, spricht man auch von der Idealklassengruppe. Divisoren, die die gleiche Divisorenklasse definieren, heißen linear äquivalent.

Satz

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich und es bezeichne ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ die Divisorenklassengruppe von ${}R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist faktoriell.
2. Jedes Primideal der Höhe ${}1$ ist ein Hauptideal.
3. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
4. Es ist ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$.

Beweis

Sei (1) erfüllt und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal der Höhe ${}1$. Es gibt ein Element ${}f\in {\mathfrak {p}}$, ${}f\neq 0$. Dieses hat eine Primfaktorzerlegung ${}f=p_{1}\cdots p_{n}$ und aufgrund der Primeigenschaft muss ${}p_{i}\in {\mathfrak {p}}$ für ein ${}i$ sein. Dann ist aber wegen der Höhenbedingung ${}(p_{i})={\mathfrak {p}}$. Sei nun jedes Primideal der Höhe ${}1$ Hauptideal. Dann gilt mit

${}{\mathfrak {p}}=(p)\,$

die Divisorbeziehung

${}\operatorname {div} {\left(p\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,,$

da ${}p$ in keinem anderen Primideal der Höhe ${}1$ enthalten ist und da ${}p$ auch in ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Erzeuger von ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist. Somit sind die Gruppenerzeuger der Divisorenklasengruppe Hauptdivisoren und damit sind überhaupt alle Divisoren Hauptdivisoren. Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar. Es sei nun vorausgesetzt, dass jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. Dann gibt es zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ ein ${}f\in Q(R)$, ${}f\neq 0$, mit

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,.$

Wegen der Nichtnegativität des Hauptdivisors ist nach Fakt ${}f\in R$. Somit ist ${}f$ nur in ${}{\mathfrak {p}}$ als einzigem Primideal der Höhe ${}1$ enthalten. Sei ${}{\mathfrak {p}}=(g_{1},\ldots ,g_{n})$. Dann ist

${}\operatorname {div} {\left(g_{i}\right)}\geq \operatorname {div} {\left(f\right)}\,$

und somit ist ${}{\frac {g_{i}}{f}}\in R$, also ${}g_{i}\in (f)$ und damit ${}{\mathfrak {p}}=(f)$.

Sei schließlich (2) erfüllt, und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Es seien ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{s}$ die minimalen Primoberideale von ${}f$. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzen diese alle die Höhe ${}1$. Sei ${}{\mathfrak {p}}_{i}=(p_{i})$ mit Primelementen ${}p_{1}$. Es ist

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{s}n_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,.$

Das Element ${}\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}$ besitzt den gleichen Hauptdivisor. Deshalb ist der Quotient ${}f/\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}$ eine Einheit und

${}f=u\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}\,$

mit einer Einheit ${}u$. Daher ist ${}R$ faktoriell.

$\Box$

Beispiel

Wir wollen die Weildivisoren und die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}$ über einem Körper ${}K$ verstehen (${}d\geq 1$). Wir betrachten die disjunkte Zerlegung

${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}=D_{+}(X_{0})\cup V_{+}(X_{0})={{\mathbb {A} }_{K}^{d}}\cup {\mathbb {P} }_{K}^{d-1}\,,$

d.h. wir fixieren die Hyperebene

${}H=V_{+}(X_{0})\cong {\mathbb {P} }_{K}^{d-1}\,$

im „Unendlichen“. Ein Primdivisor des projektiven Raumes stimmt also entweder mit der Hyperebene rechts überein oder sie schneidet den affinen Raum links nichtleer und kann als ein Primideal der Höhe ${}1$ im Polynomring ${}K[{\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{0}}}]$ aufgefasst werden. Jede Funktion ${}f$ des Funktionenkörpers lässt sich (bis auf Skalierung und kürzen) eindeutig als ${}f={\frac {P}{Q}}$ mit Polynomen ${}P,Q\in K[{\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{0}}}]$ schreiben. Mit den Primfaktorzerlegungen zu ${}P$ und ${}Q$ kann man direkt

${}f=\prod _{i=1}^{n}cP_{i}^{\nu _{i}}\,$

(mit einer Konstanten ${}c\neq 0$ und ${}\nu _{i}\in \mathbb {Z}$) schreiben und daraus den Hauptdivisor zu ${}f$ ablesen, sofern er such auf die Komponenten im affinen Raum bezieht. Die („unendlich ferne“) Ordnung von ${}f$ an ${}V_{+}(X_{0})$ ergibt sich folgendermaßen. Der lokale Ring zu diesem Primdivisor ist

${}{\begin{aligned}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{((X_{0}))}&={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\setminus (X_{0})\cap {\text{ homogene Elemente }}}\right)}_{0}\\&=K{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{1}}}\right)}[{\frac {X_{0}}{X_{1}}}]_{\left({\frac {X_{0}}{X_{1}}}\right)}.\end{aligned}}$

Man schreibt ${}P$ (bzw. ${}Q$ oder ${}f$), indem man überall ${}{\frac {X_{i}}{X_{0}}}$ durch ${}{\frac {X_{i}}{X_{1}}}\cdot {\frac {X_{1}}{X_{0}}}$ ersetzt. Dies betrachtet man als rationale Funktion über dem Körper ${}K{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{1}}}\right)}$ in der einen Variablen ${}{\frac {X_{0}}{X_{1}}}$. Der (typischerweise negative) Grad bezüglich ${}{\frac {X_{0}}{X_{1}}}$ ist die Ordnung.

Beispielsweise ist bei

${}P={\frac {X_{1}}{X_{0}}}+{\left({\frac {X_{2}}{X_{0}}}\right)}^{3}={\frac {X_{1}}{X_{0}}}+{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}}\right)}^{3}{\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}}\right)}^{3}={\left({\left({\frac {X_{0}}{X_{1}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}}\right)}^{3}\right)}{\left({\frac {X_{0}}{X_{1}}}\right)}^{-3}\,$

und die Ordnung ist ${}-3$. Da jeder Weildivisor mit einem Hauptdivisor auf dem affinen Raum wegen der Faktorialität des Polynomringes übereinstimmt, ist jeder Weildivisor linear äquivalent zu einem Divisor der Form ${}nV_{+}(X_{0})$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$ (die Klasse zu ${}V_{+}(X_{0})$ nennt man auch die Hyperebenenklasse.). Ein solcher Divisor ist aber bei ${}n\neq 0$ kein Hauptdivisor, da ein solcher Hauptdivisor auf dem affinen Raum trivial ist und daher von einer Konstanten herrühren muss. Eine solche besitzt aber auch im Unendlichen die Ordnung ${}0$. Die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ist also ${}\mathbb {Z}$, als Erzeuger kann man jede Hyperebene nehmen.