Polynome/Fourier-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Die Identität auf dem Einheitsintervall (die Sägezahnfunktion)

besitzt die Fourierreihe

${}t={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}\,.$

Beweis

Mit partieller Integration ist für ${}n\neq 0$

${}{\begin{aligned}c_{n}&=\int _{0}^{1}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}},\end{aligned}}$

da der hintere Integrand eine periodische Stammfunktion besitzt. Ferner ist ${}c_{0}={\frac {1}{2}}$. Somit ist gemäß Fakt ${}a_{n}=c_{n}+c_{-n}=0$ und

${}b_{n}={\mathrm {i} }{\left(c_{n}-c_{-n}\right)}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}-{\frac {\mathrm {i} }{2\pi (-n)}}\right)}=-{\frac {1}{\pi n}}\,.$

Die Fourierreihe ist also

${}{\frac {1}{2}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{2\pi {\mathrm {i} }nt}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}\,.$

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Satz

Die Bernoulli-Polynome besitzen auf dem Einheitsintervall die folgenden Darstellungen als Fourierreihen.

${}B_{2k}(t)=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\,$

im geraden Fall (${}k\geq 1$) und

${}B_{2k+1}(t)=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k+1}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k+1}}}\,$

im ungeraden Fall.

Beweis

Es seien ${}F_{2k}$ bzw. ${}F_{2k+1}$ die rechten Seiten der Gleichung. Wir zeigen, dass diese die gleichen Rekursionen wie die Bernoulli-Polynome erfüllen und daher mit diesen übereinstimmen müssen. Zunächst ist

${}F_{1}(t)=2\cdot (-1){\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}=-{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}=t-{\frac {1}{2}}=B_{1}(t)\,$

nach Fakt. Es ist

${}{\begin{aligned}F_{2k}'&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\right)}'\\&=2\cdot (-1)^{k}{\frac {(2k-1)!}{(2\pi )^{2k-1}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k-1}}}\\&=(2k)F_{2k-1}.\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}F_{2k+1}'&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k+1}}}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k+1}}}\right)}'\\&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\\&=(2k+1)F_{2k}.\end{aligned}}$

Ferner ist ${}F_{2k}(0)=F_{2k}(1)$ und ${}F_{2k+1}(0)=F_{2k+1}(1)=0$, woraus die Normierungseigenschaft über das Integral folgt.

$\Box$

Korollar

Es ist

${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,.$

Beweis

Fakt für ${}k=1$ besagt

${}B_{2}(t)=t^{2}-t+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2}}}\,,$

wobei Konvergenz im Sinne der ${}L^{2}$-Norm vorliegt. Wegen

${}B_{2}(0)=B_{2}(1)\,$

kann man Fakt anwenden, die Konvergenz liegt also auch punktweise vor. Für ${}t=0$ ergibt dies

${}{\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,,$

also

${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,.$

$\Box$