Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Einführung/Textabschnitt
Es sei ein kommutativer Ring und eine Menge von Variablen. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form
wobei für alle ist.
Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. In einer Variablen hat man
mit .
Es sei ein kommutativer Ring. Dann bezeichnet man mit
den Potenzreihenring in Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in Variablen).
Ein Potenzreihenring über einem Körper
ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal und dem Restekörper .
Es ist für eine beliebige Potenzreihe definitiv nicht gleich und somit sind die Variablen keine Einheiten. Es sei . Dann ist der Koeffizient von nicht . Wir machen den Ansatz
und zeigen durch Induktion über den Grad von , dass es gibt, die diese Gleichung erfüllen. Zunächst ist
zu wählen. Es seien nun alle Koeffizienten vom Grad schon gefunden. Der Koeffizient vor ist
und dieser soll werden. In der Summe sind die bekannt und sämtliche mit der Ausnahme von (der mit zu multiplizieren ist) sind auch schon bekannt, da diese kleineren Grad als haben. Es ist nun so zu wählen, dass die Gesamtsumme gleich ist, was wegen in eindeutiger Weise möglich ist. Das Komplement des Ideals besteht also nur aus Einheiten und somit handelt es sich um ein maximales Ideal. Der Restklassenkörper ist , und zwar gibt es einen kanonischen Isomorphismus
Bei der Restklassenbildung zum Ideal werden alle Potenzreihen mit der Eigenschaft, dass in jedem Monom davon vorkommt, zu gemacht. Übrig bleiben die Potenzreihen, bei denen kein vorkommt.
Es sei ein kommutativer Ring.
Dann ist die Komplettierung des Polynomringes am Ideal
isomorph zum Potenzreihenring .
Die für die Komplettierung relevanten Restklassenringe sind
Insbesondere handelt es sich um -freie Moduln. Bei den Restklassenhomomorphismen zu verschiedenen Potenzen { \left( \right) }
werden einfach die Monome vom Grad zu gemacht und die auf sich selbst abgebildet. Somit ist eine Potenzreihe das gleiche wie eine kompatible Folge in dieses Restklassenringen.