Quasiaffine Varietät/K-Spektren/Morphismen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ quasiaffine Varietäten und sei

${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

eine stetige Abbildung. Dann nennt man ${}{\psi }$ einen Morphismus (von quasiaffinen Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

$f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$

zu ${}\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}})$ gehört.

Bemerkung  

Ein Morphismus

${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

induziert also nach Definition zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ einen Ringhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon \Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}),$

Insbesondere gibt es einen globalen Ringhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (Y,{\mathcal {O}}).$

Sind ${}U_{1}\subseteq U_{2}$ offene Teilmengen in ${}Y$, so liegt ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen vor (wobei die senkrechten Pfeile offene Inklusionen sind)

${\begin{matrix}{\psi }^{-1}(U_{1})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&U_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\psi }^{-1}(U_{2})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&U_{2}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

das wiederum zu dem kommutativen Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma ({\psi }^{-1}(U_{1}),{\mathcal {O}})&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&\Gamma (U_{1},{\mathcal {O}})&\\\uparrow &&\uparrow &\\\Gamma ({\psi }^{-1}(U_{2}),{\mathcal {O}})&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&\Gamma (U_{2},{\mathcal {O}})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Ringhomomorphismen führt.

Wir fassen einige einfache Eigenschaften von Morphismen zusammen

Proposition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und seien ${}U,X,Y,Z$ quasiaffine Varietäten. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Eine offene Einbettung ${}U\subseteq X$ ist ein Morphismus.
2. Sind ${}{\theta }:Z\rightarrow Y$ und ${}{\psi }:Y\rightarrow X$ Morphismen, so ist auch die Verknüpfung ${}{\psi }\circ {\theta }$ ein Morphismus.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Wichtiger sind die folgenden Eigenschaften.

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$-Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen ${}K$-Spektren ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$.

Dann ist die durch einen ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ induzierte Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon Y\longrightarrow X$

ein Morphismus.

Beweis

Wir wissen bereits nach Fakt, dass

$Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$

eine stetige Abbildung ist. Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge und ${}V=(\varphi ^{*})^{-1}(U)$ das Urbild. Es sei ${}f:U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion mit der Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi ^{*}:V\rightarrow K$. Wir haben zu zeigen, dass diese Abbildung ebenfalls algebraisch ist. Es sei dazu ${}P\in V$ ein Punkt mit dem Bildpunkt ${}Q=\varphi ^{*}(P)$. Es sei ${}Q\in D(H)\subseteq U$ und ${}f=G/H$ auf ${}D(H)$ mit ${}G,H\in R$. Es ist

$P\in (\varphi ^{*})^{-1}(D(H))=D(\varphi (H)).$

Wir behaupten, dass auf ${}D(\varphi (H))$ die Gleichheit ${}f\circ \varphi ^{*}={\frac {\varphi (G)}{\varphi (H)}}$ gilt. Dies folgt für ${}{\tilde {P}}\in D(\varphi (H))$ aus

${}f\circ \varphi ^{*}({\tilde {P}})=f(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))={\frac {G(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}{H(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}}={\frac {(\varphi (G))({\tilde {P}})}{(\varphi (H))({\tilde {P}})}}\,.$

$\Box$

Bemerkung  

In der Situation von Fakt ist der zu ${}U=D(f)$ gehörende Ringhomomorphismus die natürliche Abbildung

$\Gamma (D(f),{\mathcal {O}})\cong R_{f}\longrightarrow \Gamma ((\varphi ^{*})^{-1}(D(f)),{\mathcal {O}})=\Gamma (D(\varphi (f)),{\mathcal {O}})=S_{\varphi (f)}.$

Lemma

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine algebraische Funktion.

Dann definiert ${}f$ einen Morphismus

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong K.$

Beweis

Sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei ${}V=D(s)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ eine offene Teilmenge und ${}W=f^{-1}(V)\subseteq U$ das Urbild davon. Sei

${}q={\frac {r}{s^{n}}}\in \Gamma (V,{\mathcal {O}})=K[T]_{s}\,$

eine algebraische Funktion auf ${}V$. Wir müssen zeigen, dass die Verknüpfung ${}q\circ f$ eine algebraische Funkion auf ${}W$ ist. Es sei dazu ${}P\in W$ und sei ${}f=G/H$ eine Beschreibung der nach Voraussetzung algebraischen Funktion ${}f$ in der Umgebung ${}D(H)\ni P$. Dann ist

${}(q\circ f)(P)=q(f(P))={\frac {r}{s^{n}}}{\left({\frac {G}{H}}(P)\right)}={\frac {r(G(P)/H(P))}{(s(G(P)/H(P)))^{n}}}\,.$

Dabei ist der Nenner ${}(s(G(P)/H(P)))^{n}$ nicht ${}0$, da ${}f(P)\in D(s)$ ist, so dass dies eine rationale Darstellung ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, und zwar sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, wobei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ sei.

Dann gibt es eine natürliche Bijektion

$\operatorname {Mor} \,(U,{\mathbb {A} }_{K}^{1})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}),\,{\psi }\longmapsto {\tilde {\psi }}(T),$

wobei ${}T$ die Variable in ${}K[T]=\Gamma ({\mathbb {A} }_{K}^{1},{\mathcal {O}})$ bezeichnet.

Insbesondere sind Morphismen von ${}U$ in die affine Gerade durch den globalen Ringhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon \Gamma ({\mathbb {A} }_{K}^{1},{\mathcal {O}})=K[T]\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}})$

eindeutig bestimmt.

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert und surjektiv. Ist nämlich eine globale algebraische Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gegeben, so ist zunächst ${}f\colon U\rightarrow K$. Die Variable ${}T$, die auf ${}K={\mathbb {A} }_{K}^{1}$ der identischen Abbildung entspricht, wird unter (der Verknüpfung mit) ${}f$ auf das Element ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ abgebildet. Nach Fakt ist ${}f$ ein Morphismus.

Die Injektivität ergibt sich, da sowohl der Morphismus als auch die algebraische Funktion durch die zugrunde liegende stetige Abbildung eindeutig festgelegt sind.

$\Box$

Satz

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät, und zwar sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, wobei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossener Körper ${}K$ sei. Es sei ${}S$ eine weitere kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ.

Dann gibt es eine natürliche Bijektion

$\operatorname {Mor} \,(U,K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)})\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(S,\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)},\,{\psi }\longmapsto {\tilde {\psi }},$

wobei ${}{\tilde {\psi }}$ den zu ${}{\psi }$ gehörigen globalen Ringhomomorphismus bezeichnet.

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert. Aus Fakt folgt, dass die Aussage für ${}S=K[T]$ richtig ist. Daraus ergibt sich, dass die Aussage für jeden Polynomring ${}K[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ richtig ist, da ein Morphismus nach ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ durch seine Komponenten und ein ${}K$-Algebrahomomorphismus durch die Einsetzungen für ${}T_{i}$ gegeben ist. Es sei nun ${}S=K[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und

${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\cong V({\mathfrak {a}})=V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

Zu einem Morphismus ${}U\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ ist die Verknüpfung mit der abgeschlossenen Einbettung in den affinen Raum ebenfalls ein Morphismus. D.h. es liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\operatorname {Mor} \,(U,K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(S,\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)}&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Mor} \,(U,{{\mathbb {A} }_{K}^{n}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(K[T_{1},\ldots ,T_{n}],\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

vor, wobei die untere Abbildung bereits als Bijektion nachgewiesen wurde. Die vertikalen Abbildungen sind injektiv. Wir müssen daher zeigen, dass die untere Abbildung die oberen Teilmengen ineinander überführt.

Ein Morphismus ${}U\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, der (als Abbildung) durch ${}V$ faktorisiert, ist auch ein Morphismus nach ${}V$. Die Morphismuseigenschaft ist nur für offene Mengen der Form ${}D(H)$ zu überprüfen, ${}H\in S$. Es sei ${}{\tilde {H}}\in K[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ ein Repräsentant für ${}H$. Dann ist ${}K[T_{1},\ldots ,T_{n}]_{\tilde {H}}\rightarrow S_{H}$ surjektiv und damit wird jedes Element aus ${}S_{H}$ auf eine algebraische Funktion abgebildet.

Auf der rechten Seite des Diagramms gehört eine Algebrahomomorphismus genau dann zur oberen Menge, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ zum Kern gehört. Damit folgt die Aussage aus Aufgabe.

$\Box$