Reelle Reihe/Absolute Konvergenz/Textabschnitt

Definition

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$

konvergiert.

Lemma

Eine absolut konvergente Reihe von reellen Zahlen

konvergiert.

Beweis

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert =\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Daher ist

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert \leq \epsilon \,,$

was die Konvergenz bedeutet.

$\Box$

Beispiel

Eine konvergente Reihe muss nicht absolut konvergieren, d.h. Fakt lässt sich nicht umkehren. Aufgrund des Leibnizkriteriums konvergiert die alternierende harmonische Reihe

${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\ldots \,,$

und zwar ist ihr Grenzwert ${}\ln 2$, was wir hier aber nicht beweisen. Die zugehörige absolute Reihe ist aber die harmonische Reihe, die nach Beispiel divergiert.

Die folgende Aussage heißt das Majorantenkriterium.

Lemma

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen mit ${}\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle ${}k$.

Dann ist die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergent.

Beweis

Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.

$\Box$

Beispiel

Wir wollen bestimmen, ob die Reihe

${}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\ldots \,$

konvergiert oder nicht. Dazu ziehen wir das Majorantenkriterium und Beispiel heran, wo wir die Konvergenz von ${}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}$ gezeigt haben. Für ${}k\geq 2$ ist

${}{\frac {1}{k^{2}}}\leq {\frac {1}{k(k-1)}}\,.$

Daher konvergiert ${}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ und somit auch ${}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$. Über den Wert der Summe ist damit noch nichts gesagt. Mit deutlich aufwändigeren Methoden (siehe Fakt) kann man zeigen, dass diese Summe gleich ${}{\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ist.