Reelle symmetrische Bilinearform/Definitheit/Typ/Textabschnitt

Wir möchten die symmetrischen Bilinearformen über den reellen Zahlen klassifizieren.^[1] Dabei spielen die Skalarprodukte als Extremfall eine Schlüsselrolle.

Definition

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Diese Bilinearform heißt

positiv definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle ${}v\in V$ , ${}v\neq 0$ ist.
negativ definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle <0$ für alle ${}v\in V$ , ${}v\neq 0$ ist.
positiv semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
negativ semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
indefinit, wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.

Positiv definite symmetrische Bilinearformen sind genau die reellen Skalarprodukte. Eine indefinite Form liegt vor, wenn es Vektoren ${}v$ und ${}w$ mit ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ und ${}\left\langle w,w\right\rangle <0$ gibt. Die Nullform ist zugleich positiv semidefinit und negativ semidefinit, aber weder positiv definit noch negativ definit (außer auf dem Nullraum).

Eine Bilinearform auf ${}V$ kann man auf einen Untervektorraum ${}U\subseteq V$ einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf ${}U$ ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine beliebige Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit werden und auf andere negativ definit. Dies führt zu folgender Definition.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ

(p,q)

besitzt, wobei

{}p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,

und

{}q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,

ist.

Bei einem Skalarprodukt auf einem ${}n$ -dimensionalen reellen Vektorraum ist der Typ ${}(n,0)$ . Nach Aufgabe ist stets

{}p+q\leq \operatorname {dim} _{}\left(V\right)\,.

Die Matrix

{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

ist die Gramsche Matrix zu einer symmetrischen Bilinearform auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ , sagen wir bezüglich der Standardbasis. Die Einschränkung der Form auf ${}\mathbb {R} e_{1}$ ist positiv definit, die Einschränkung auf ${}\mathbb {R} e_{2}$ ist negativ definit, die Einschränkung auf ${}\mathbb {R} e_{3}$ ist die Nullform. Daher sind ${}p,q\geq 1$ , es ist aber nicht unmittelbar klar, ob es nicht auch zweidimensionale Untervektorräume geben könnte, auf denen die Einschränkung positiv definit ist. Eine Untersuchung „aller“ Untervektorräume, wie es die Definition verlangt, scheint aussichtslos. Es gibt aber mehrere Möglichkeiten, den Typ einer symmetrischen Bilinearform zu bestimmen, ohne alle Untervektorräume von ${}V$ zu überblicken. Die folgende Aussage nennt man den Trägheitssatz von Sylvester.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$ .

Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Bezüglich einer Orthogonalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ (die es nach Fakt gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei ${}p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und ${}q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten ${}p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden ${}q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen ${}0$ seien. Auf dem ${}p'$ -dimensionalen Unterraum ${}U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, so dass ${}p'\leq p$ gilt. Sei ${}W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$ , auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist ${}V=U\oplus W$ , und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

Angenommen, es gebe einen Unterraum ${}U'$ , auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension ${}p$ größer als ${}p'$ ist. Die Dimension von ${}W$ ist ${}n-p'$ und daher ist ${}W\cap U'\neq 0$ nach Fakt.

Für einen Vektor ${}w\in W\cap U'$ , ${}w\neq 0$ , ergibt sich aber direkt der Widerspruch ${}\left\langle w,w\right\rangle >0$ und ${}\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$ .

\Box

Indem man die Orthogonalvektoren umskaliert, kann man erreichen, dass in der Diagonalen nur die Werte ${}1,-1,0$ vorkommen. Die auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ durch die Diagonalmatrix mit ${}p$ Einsen, ${}q$ Minuseinsen und ${}n-p-q$ Nullen gegebene Form zeigt, dass jeder Typ, der

{}p+q\leq n\,

erfüllt, realisiert werden kann. Man spricht von der Standardform zum Typ ${}(p,q)$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ .

↑ Unter einer Klassifikation versteht man in der Mathematik, eine Menge an mathematischen Objekten vollständig und übersichtlich zu beschreiben, Kriterien anzugeben, wann zwei Objekte im Wesentlichen gleich (oder äquivalent) sind und die verschiedenen Objekte durch numerische Invariante zu erfassen und für die Objekte möglichst einfache Vertreter anzugeben. Beispielsweise werden endlichdimensionale Vektorräume durch ihre Dimension klassifiziert, gleichdimensionale Vektorräume sind zueinander isomorph. Lineare Abbildungen von ${}{\mathbb {C} }^{n}$ in sich werden über die jordansche Normalform klassifiziert. Die entscheidende Frage ist hierbei, welche Jordanblöcke mit welcher Länge und zu welchen Eigenwerten wie oft vorkommen? Hier besprechen wir den Typ einer reell-symmetrischen Bilinearform. Andere Klassifikationsresultate in der linearen Algebra beziehen sich auf quadratische Formen und auf endliche Bewegungsgruppen im Raum.

[1] Unter einer Klassifikation versteht man in der Mathematik, eine Menge an mathematischen Objekten vollständig und übersichtlich zu beschreiben, Kriterien anzugeben, wann zwei Objekte im Wesentlichen gleich (oder äquivalent) sind und die verschiedenen Objekte durch numerische Invariante zu erfassen und für die Objekte möglichst einfache Vertreter anzugeben. Beispielsweise werden endlichdimensionale Vektorräume durch ihre Dimension klassifiziert, gleichdimensionale Vektorräume sind zueinander isomorph. Lineare Abbildungen von ${}{\mathbb {C} }^{n}$ in sich werden über die jordansche Normalform klassifiziert. Die entscheidende Frage ist hierbei, welche Jordanblöcke mit welcher Länge und zu welchen Eigenwerten wie oft vorkommen? Hier besprechen wir den Typ einer reell-symmetrischen Bilinearform. Andere Klassifikationsresultate in der linearen Algebra beziehen sich auf quadratische Formen und auf endliche Bewegungsgruppen im Raum.

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