Resultante/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}f=\sum _{i=0}^{m}a_{i}X^{i}$ und ${}g=\sum _{j=0}^{n}b_{j}X^{j}$ Polynome aus ${}R[X]$ über dem kommutativen Ring ${}R$. Dann versteht man unter der Resultante die Determinante der ${}(m+n)\times (m+n)$-Matrix

${\begin{pmatrix}a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&&\\&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}\\b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&&\\&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}\\\end{pmatrix}}.$

Sie wird mit ${}\operatorname {Res} (f,g)$ bezeichnet.

Das Bilden der Resultante ist mit Ringwechseln ${}R\rightarrow R'$ verträglich.

Lemma

Es seien ${}f=\sum _{i=0}^{m}a_{i}X^{i}$ und ${}g=\sum _{j=0}^{n}b_{j}X^{j}$ Polynome aus ${}K[X]$ über dem Körper ${}K$.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Polynome ${}f$ und ${}g$ haben einen gemeinsamen Faktor positiven Grades.
2. Die Polynome ${}f$ und ${}g$ haben ein gemeinsames Vielfaches, dessen Grad kleiner als ${}m+n$ ist.
3. Die Resultante ${}\operatorname {Res} (f,g)$ ist gleich ${}0$.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt unmittelbar aus der Faktorialität von ${}K[X]$, siehe Fakt. Wir machen den Ansatz

${}p=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}X^{k}\,$

und

${}q=\sum _{\ell =0}^{m-1}d_{\ell }X^{\ell }\,.$

Die Eigenschaft (2) bedeutet, dass es Polynome ${}p$ und ${}q$ mit der angegebenen Gradbedingung gibt, die

${}fp+gq=0\,$

erfüllen. Wenn man die hinter dieser Polynomgleichheit stehenden Koeffizientenbedingungen ausrechnet, so erhält man das lineare Gleichungssystem

${}a_{0}c_{0}+b_{0}d_{0}=0\,,$

${}a_{1}c_{0}+a_{0}c_{1}+b_{1}d_{0}+b_{0}d_{1}=0\,,$

$\vdots$

${}a_{m}c_{n-1}+b_{n}d_{m-1}=0\,.$

Diese Gleichungen ergeben sich ebenfalls, wenn man die Matrixbedingung

${}\left(c_{n-1},\,\ldots ,\,c_{0},\,d_{m-1},\,\ldots ,\,d_{0}\right){\begin{pmatrix}a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&&\\&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}\\b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&&\\&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}\\\end{pmatrix}}=0\,$

zeilenweise auswertet. Die Polynomgleichung hat also eine nichttriviale Lösung genau dann, wenn es für die Matrix eine nichttrivialen Zeilenvektor gibt, dessen Produkt mit der Matrix ${}0$ ergibt. Eine solche Lösung gibt es aber nach Fakt genau dann, wenn die Determinante der Matrix gleich ${}0$ ist.

$\Box$

Satz

Es seien

${}f,g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Y]\subseteq K(X_{1},\ldots ,X_{n})[Y]\,$

Polynome über einem unendlichen Körper ${}K$, die keinen gemeinsamen Teiler von positivem Grad (in ${}Y$) haben.

Dann liegt die Menge der Punkte

${\left\{P\in K^{n}\mid f(P,Y){\text{ und }}g(P,Y){\text{ haben eine gemeinsame Nullstelle in }}Y\right\}}$

in einer affin-algebraischen Teilmenge ${}V\subset K^{n}$.

Beweis

Die beiden Polynome haben auch aufgefasst in ${}K(X_{1},\ldots ,X_{n})[Y]$ keinen gemeinsamen Teiler von positivem Grad. Nach Fakt ist daher die Resultante ${}\operatorname {Res} (f,g)\neq 0$. Die Resultante gehört zum Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Es sei ${}P\in K^{n}$ ein Punkt derart, dass ${}f(P,Y)$ und ${}g(P,Y)$ eine gemeinsame Nullstelle haben. Dann ist, wiederum nach Fakt, und da die Resultante mit dem Ringwechsel

$\varphi _{P}\colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K$

verträglich ist,

${}\operatorname {Res} (f,g)(P)=\operatorname {Res} (f(P,Y),g(P,Y))=0\,.$

Also sind die Punkte ${}P$, für die ${}f(P,Y)$ und ${}g(P,Y)$ eine gemeinsame Nullstelle haben, selbst Nullstelle der von ${}0$ verschiedenen Resultante, liegen also in einer echten abgeschlossenen Teilmenge.

$\Box$

Siehe auch Fakt.

Beispiel

Es sei

${}f=X^{2}+Y^{2}-1\,$

und

${}g=Y-X^{2}\,,$

die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die Resultante (bezüglich ${}Y$) ist

${}\operatorname {Res} (f,g)=\det {\begin{pmatrix}1&0&X^{2}-1\\1&-X^{2}&0\\0&1&-X^{2}\end{pmatrix}}=X^{4}-(X^{2}-1)=X^{4}-X^{2}+1\,.$

Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch ${}f$ und ${}g$ Kurven (also der Kreis und die Parabel) in ${}V(X^{4}-X^{2}+1)$ liegt. Wenn man die Resultante bezüglich ${}X$ nimmt, so ergibt sich

${}{\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,g)&=\det {\begin{pmatrix}1&0&Y^{2}-1&0\\0&1&0&Y^{2}-1\\-1&0&Y&0\\0&-1&0&Y\end{pmatrix}}\\&=Y^{2}+Y(Y^{2}-1)-(-(Y^{2}-1)Y-(Y^{2}-1)^{2})\\&=Y^{2}+Y^{3}-Y+(Y^{2}-1)Y+(Y^{2}-1)^{2}\\&=Y^{4}+2Y^{3}-Y^{2}-2Y+1.\end{aligned}}$

Beispiel

Es sei

${}f=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\,$

und

${}g=XZ-1\,,$

die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die Resultante (bezüglich ${}Z$) ist

${}\operatorname {Res} (f,g)=\det {\begin{pmatrix}1&0&X^{2}+Y^{2}-1\\X&-1&0\\0&X&-1\end{pmatrix}}=1-X^{2}(X^{2}+Y^{2}-1)=1-X^{4}-X^{2}-X^{2}Y^{2}\,.$

Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch ${}f$ und ${}g$ Flächen (also die Kugel und der Zylinder über einer Hyperbel) in ${}V(1-X^{4}-X^{2}-X^{2}Y^{2})$ liegt.