Riemannsche Fläche/Motivation/Quotientengarbe/Textabschnitt

Zu einer Untergarbe ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ hätte man gerne eine Quotientengarbe ${}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$, wie es zu einer Untergruppe einer kommutativen Gruppe eine wohldefinierte Restklassengruppe gibt. Die naheliegende Idee, zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ die Restklassengruppe ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}/{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ zu betrachten, stößt auf dass Problem, dass diese Konstruktion zwar eine Prägarbe, aber keine Garbe ist. Dieses Problem bekommt man durch das Konzept der Vergarbung in den Griff. Die Vergarbung ist ein Konstruktionsprozess, der jeder Prägarbe eine Garbe zuordnet, wobei die Halme in jedem Punkt übereinstimmen. Diese Eigenschaft ist wichtiger als die genaue Konstruktion der Vergarbung.

Definition

Zu einer Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen und einer Untergarbe von Gruppen ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ nennt man die Vergarbung der Prägarbe ${}U\mapsto {\mathcal {G}}{\left(U\right)}/{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ die Quotientengarbe zu ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$

Die Quotientengarbe wird mit ${}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$ bezeichnet. Da vergarbt wird, muss nicht unbedingt ${}{\left({\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}(U)={\mathcal {G}}{\left(U\right)}/{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ gelten. Es gilt aber ${}{\left({\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}_{P}={\mathcal {G}}_{P}/{\mathcal {F}}_{P}$ für jeden Punkt ${}P\in X$, siehe Aufgabe.

Lemma

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen und ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ einer Untergarbe von Gruppen mit der Quotientengarbe ${}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. Jedes Element ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$ wird repräsentiert durch eine Familie ${}(U_{i},g_{i})$, ${}i\in I$, wobei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ist und ${}g_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {G}}\right)}$ Schnitte sind mit

   ${}g_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-g_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,,$

   und jede solche Familie liegt ein Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$ fest.

2. Zwei solche Familien ${}(U_{i},g_{i})$ ${}(U_{i},h_{i})$ (also zur gleichen Überdeckung) definieren genau dann das gleiche Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$, wenn

   ${}g_{i}-h_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}\,$

   für alle ${}i$ ist.

3. Zwei Familien ${}(U_{i},g_{i})$ und ${}(V_{j},h_{j})$ definieren genau dann das gleiche Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$, wenn auf einer (jeder) gemeinsamen Verfeinerung der beiden Überdeckungen die Differenzen zu ${}{\mathcal {F}}$ gehören.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Wir versehen die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der diskreten Topologie und betrachten dazu auf ${}X$ die Garbe der stetigen Abbildungen nach ${}\mathbb {Z}$ im Sinne von Beispiel. Es handelt sich um eine Garbe von lokal-konstanten Abbildungen. Über den Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow {\mathbb {C} },\,n\longmapsto 2\pi {\mathrm {i} }n,$

können wir diese Garbe als eine Untergarbe der Garbe der holomorphen Funktionen auf ${}X$ auffassen, da ja stetige lokal-konstante Funktionen insbesondere holomorph sind. In diesem Fall besitzt die Quotientengarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}/2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z}$ eine einfachere Beschreibung, als die Definition der Quotientengarbe als Vergarbung einer Prägarbe vermuten lässt. Die Quotientengarbe ist nämlich die Garbe der holomorphen Funktionen mit Werten in ${}{\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Diese Garbe nennt man die Garbe der holomorphen Einheiten auf ${}X$ und bezeichnet sie mit ${}{\mathcal {O}}_{X}^{\times }$. Die Exponentialfunktion ist eine holomorphe surjektive Funktion

$\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },$

diese definiert im Sinne von Beispiel einen Garbenhomomorphismus

$\exp \colon {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{\times },$

wobei eine holomorphe Funktion ${}f$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ auf ${}\exp \circ f$ abgebildet wird. Der Kern dieses Garbenhomomorphismus ergibt die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in ${}2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z}$, da genau diese Zahlen unter der Exponentialfunktion auf ${}1$ abbilden. Wir behaupten, dass der durch die Exponentialabbildung gegebene Garbenhomomorphismus surjektiv ist. Dies ist eine lokale Eigenschaft, die wir für jeden Punkt ${}P\in X$ nachweisen müssen. Sei ${}P\in U$ eine offene Umgebung und sei

$h\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$

eine holomorphe Funktion. Zu ${}h(P)$ gibt es, da die komplexe Exponentialfunktion nach Beispiel eine Überlagerung ist, auf einer offenen Umgebung ${}h(P)\in V\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ einen holomorphen Schnitt (einen lokalen Logarithmus)

$s\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit ${}\exp \left(s(z)\right)=z$ für ${}z\in V$. Auf ${}h^{-1}(V)$ ist somit ${}s\circ h$ eine holomorphe Funktion, die unter der Exponentialfunktion auf ${}h$ abbildet.

Die Exponentialfunktion ist nicht global surjektiv. Wenn man beispielsweise ${}X={\mathbb {C} }^{\times }$ setzt, so ist die globale Auswertung der Exponentialabbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.