Riemannscher Abbildungssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Nach Fakt gibt es zumindest eine injektive holomorphe Abbildung . Wir betrachten von nun an direkt , durch einen Automorphismus der Kreisscheibe (siehe Aufgabe) können wir zusätzlich annehmen. Wir betrachten die Funktionenmenge

und zeigen zunächst, dass abgeschlossen in der Topologie der kompakten Konvergenz ist. Dazu sei eine in kompakt konvergente Folge in mit der Grenzfunktion . Aufgrund von Fakt liegt Konvergenz in vor. Die Grenzfunktion ist injektiv oder konstant nach Fakt. Nach Fakt konvergieren auch die Ableitungen gegen und somit ist insbesondere

Dies schließt aus, dass die Grenzfunktion konstant ist, und sichert die Injektivität. Das Bild der Grenzfunktion liegt aufgrund der Konvergenz in der abgeschlossenen Kreisscheibe, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch in der offenen Kreisscheibe. Die Funktionenmenge ist unmittelbar beschränkt. Der Satz von Montel ergibt mit Fakt und Fakt, dass kompakt ist.

Die Abbildung

ist nach Fakt stetig in der Topologie der kompakten Konvergenz und daher ist auch die Abbildung

stetig. Nach Fakt ist die Betragsmenge ebenfalls kompakt und daher nach Fakt abgeschlossen und beschränkt und enthält nach Fakt ihr Maximum. Es sei eine Funktion mit der Eigenschaft, dass dieses Maximum ist. Mit Fakt

folgt, dass surjektiv ist.