Wir zeigen zuerst, dass jede lokal freie Garbe isomorph zu einer Garbe der Schnitte in einem Vektorbündel ist. Eine lokal freie Garbe vom Rang ist durch eine offene Überdeckung
(wobei wir die als affin annehmen können)
und
Isomorphismen
-
gegeben. Die Hintereinanderschaltung
-
ist
nach Fakt
durch mit
-
gegeben. Dabei ist
mit
-
Ferner ist die
Determinante
der Matrix eine Einheit in
Dies definiert über
-
einen linearen
-Algebraisomorphismus
-
und einen
Schemaisomorphismus
-
der von der in der Definition eines geometrischen Vektorbündels geforderten Form ist. Wir betrachten das
Verklebungsdatum von beringten Räumen
-
Die Kozykelbedingung ist dabei erfüllt, da die Daten von dem globalen Objekt herrühren. Aufgrund von
Fakt
gibt es ein Schema , das dieses Verklebungsdatum realisiert. Die lokalen Projektionen
-
verkleben dabei zu einem Schemamorphismus
-
Aufgrund der Konstruktion handelt es sich um ein geometrisches Vektorbündel über . Es sei die Garbe der Schnitte zu . Wir behaupten, dass es einen natürlichen Isomorphismus
-
gibt. Wegen der Konstruktion gibt es natürliche Garbenisomorphismen
-
für jede offene Menge , und deren Einschränkungen auf die Durchschnitte stimmen überein. Nach
Fakt
gibt es daher einen globalen Garbenhomomorphismus, und dieser ist nach
Fakt
ein Isomorphismus.
Die Injektivität der Zuordnung ergibt sich, da sich ein Vektorbündel
(bis auf Isomomorphie)
durch seine Garbe der Schnitte durch die beschriebene Konstruktion rekonstruieren lässt. Für die Aussage über die Homomorphismen siehe
Aufgabe,
Aufgabe
und
Aufgabe.