Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Modul/Verschiebung/Twist/Tensorierung/Fakt/Beweis

Beweis

Zu einem homogenen Element ${}f\in R_{+}$ gibt es einen ${}(R_{f})_{0}$-Modulhomomorphismus

$(M_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\longrightarrow (M_{f})_{n},\,{\frac {m}{f^{k}}}\otimes {\frac {r}{f^{\ell }}}\longmapsto {\frac {rm}{f^{k+\ell }}},$

der unmittelbar von der (homogenen) Modulmultiplikation ${}M\times R\rightarrow M$ herrührt. Diese Homomorphismen induzieren für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ einen Modulhomomorphismus

$\operatorname {colim} _{U\subseteq D_{+}(f)}\,{\left((M_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {colim} _{U\subseteq D_{+}(f)}\,(M_{f})_{n},$

der insgesamt ein Homomorphismus von Prägarben ist. Wegen ${}(M(n)_{f})_{0}=(M_{f})_{n}$ ist die Vergarbung der Prägarbe rechts gleich ${}{\widehat {M(n)}}$. Die Vergarbung der linken Seite (in zwei Schritten) ist ${}{\widehat {M}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\operatorname {Proj} {\left(R\right)}}}{\mathcal {O}}_{Y}(n)$, sodass ein Homomorphismus von Moduln

${\widehat {M}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\operatorname {Proj} {\left(R\right)}}}{\mathcal {O}}_{Y}(n)\longrightarrow {\widehat {M(n)}},$

vorliegt.

Dass ein Isomorphismus vorliegt kann auf einer affinen Überdeckung gezeigt werden. Wenn ${}f$ homogen ist, so ist der obige ${}(R_{f})_{0}$-Modulhomomorphismus

$(M_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\longrightarrow (M_{f})_{n}$

nach Fakt und Fakt  (2) gleich der Auswertung des vergarbten Homomorphismus. Wenn ${}f$ den Grad ${}1$ besitzt (und die zugehörigen offenen Mengen ${}D_{+}(f)$ überdecken ${}Y$), so liegt ein Isomorphismus vor. Nach Aufgabe ist ${}(R_{f})_{0}\cong (R_{f})_{n}$ (über ${}1\mapsto f^{n}$) sodass links ein zu ${}(M_{f})_{0}$ isomorpher Modul steht. Mit dieser Identifizierung ist die Abbildung durch ${}{\frac {m}{f^{k}}}\mapsto f^{n}\cdot {\frac {m}{f^{k}}}$ gegeben, und diese ist bijektiv, da ${}f$ eine Einheit ist.

Zur bewiesenen Aussage