Stetigkeit/Metrischer Raum/K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten Abbildungsdiagramme der Form

$M{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {+}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }.$

Die Abbildung links ist stetig aufgrund von Fakt. Die rechte Abbildung ist stetig aufgrund von Fakt. Daher ist wegen Fakt auch die Gesamtabbildung stetig. Die Gesamtabbildung ist aber die Addition der beiden Funktionen. Für die Multiplikation verläuft der Beweis gleich, für die Negation und die Division muss man zusätzlich Fakt heranziehen und (für die Division) das Diagramm

$U{\stackrel {f,g^{-1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {\cdot }{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$

betrachten.

Zur bewiesenen Aussage