Untervektorräume/Summe/Textabschnitt


Zu einem -Vektorraum und einer Familie von Untervektorräumen definiert man die Summe dieser Untervektorräume durch

Diese Summe ist stets wieder ein Untervektorraum. Bei

sagt man, dass die Summe der Untervektorräume ist. Der folgende Satz drückt eine wichtige Beziehung zwischen der Dimension der Summe von zwei Untervektorräumen und der Dimension ihres Durchschnitts aus.



Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es seien Untervektorräume.

Dann ist

Es sei eine Basis von . Diese ergänzen wir gemäß Fakt einerseits zu einer Basis von und andererseits zu einer Basis von . Dann ist

ein Erzeugendensystem von . Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Es sei dazu

Daraus ergibt sich, dass das Element

zu gehört. Daraus folgt direkt für und für . Somit ergibt sich dann auch für alle . Also liegt lineare Unabhängigkeit vor. Insgesamt ist also


Der Durchschnitt von zwei Ebenen im ist „im Normalfall“ eine Gerade, und die Ebene selbst, wenn zweimal die gleiche Ebene genommen wird, aber niemals nur ein Punkt. Diese Gesetzmäßigkeit kommt in der folgenden Aussage zum Ausdruck.



Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension und es seien Untervektorräume der Dimension bzw. .

Dann ist

Nach Fakt ist


Übrigens nennt man zu einem Untervektoraum die Differenz auch die Kodimension von in . Mit diesem Begriff kann man die obige Aussage so formulieren, dass die Kodimension eines Durchschnitts von Untervektorräumen höchstens gleich der Summe der beiden Kodimensionen ist.



Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem aus Gleichungen in Variablen gegeben.

Dann ist die Dimension des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich .

Der Lösungsraum einer linearen Gleichung in Variablen besitzt die Dimension oder . Der Lösungsraum des Systems ist der Durchschnitt der Lösungsräume der einzelnen Gleichungen. Daher folgt die Aussage durch mehrfache Anwendung von Fakt auf die einzelnen Lösungsräume.