Vektorraum/Basis/Polynome/Einführung/Textabschnitt


Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem , , von eine Basis von .


Die Standardvektoren im bilden eine Basis. Die lineare Unabhängigkeit wurde in Beispiel gezeigt. Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, sei

ein beliebiger Vektor. Dann ist aber direkt

Also liegt eine Basis vor, die man die Standardbasis des nennt.



Wir betrachten den -Untervektorraum , der durch

gegeben ist. Eine Basis ist durch die Vektoren

gegeben. Diese Vektoren gehören offenbar zu . Die lineare Unabhängigkeit kann man in überprüfen. Aus einer Gleichung

folgt schrittweise , , u.s.w. Dass ein Erzeugendensystem vorliegt, ergibt sich aus

wobei die Gültigkeit in der letzten Zeile auf der Bedingung

beruht.


Für die komplexen Zahlen bilden eine reelle Basis. Im Raum der -Matrizen bilden diejenigen Matrizen, die an genau einer Stelle eine und sonst überall stehen haben, eine Basis, siehe Aufgabe.


Im Polynomring über einem Körper sind die Potenzen , , eine Basis. Nach Definition kann man jedes Polynom

als Linearkombination der Potenzen schreiben. Ferner sind diese Potenzen linear unabhängig. Wenn nämlich

ist, so müssen alle Koeffizienten gleich sein (dies gehört zum Begriff eines Polynoms).