Vektorraum/Basis/Polynome/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ${}v_{i}\in V$, ${}i\in I$, von ${}V$ eine Basis von ${}V$.

Beispiel

Die Standardvektoren im ${}K^{n}$ bilden eine Basis. Die lineare Unabhängigkeit wurde in Beispiel gezeigt. Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, sei

${}v={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}\,$

ein beliebiger Vektor. Dann ist aber direkt

${}v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i}\,.$

Also liegt eine Basis vor, die man die Standardbasis des ${}K^{n}$ nennt.

Beispiel

Wir betrachten den ${}K$-Untervektorraum ${}U\subset K^{n}$, der durch

${}U={\left\{v\in K^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}v_{i}=0\right\}}\,$

gegeben ist. Eine Basis ist durch die ${}n-1$ Vektoren

$u_{1}=(1,-1,0,0,\ldots ,0),\,u_{2}=(0,1,-1,0,\ldots ,0),\,,\ldots ,u_{n-1}=(0,0,\ldots ,0,1,-1),\,$

gegeben. Diese Vektoren gehören offenbar zu ${}U$. Die lineare Unabhängigkeit kann man in ${}K^{n}$ überprüfen. Aus einer Gleichung

${}\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}u_{i}=0\,$

folgt schrittweise ${}a_{1}=0$, ${}a_{2}=0$, u.s.w. Dass ein Erzeugendensystem vorliegt, ergibt sich aus

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}=v_{1}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}+(v_{1}+v_{2}){\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}+(v_{1}+v_{2}+v_{3}){\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +(v_{1}+v_{2}+v_{3}+\cdots +v_{n-1}){\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\\-1\end{pmatrix}}\,,$

wobei die Gültigkeit in der letzten Zeile auf der Bedingung

${}\sum _{i=1}^{n}v_{i}=0\,$

beruht.

Für die komplexen Zahlen bilden ${}1,{\mathrm {i} }$ eine reelle Basis. Im Raum der ${}m\times n$-Matrizen ${}\operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ bilden diejenigen Matrizen, die an genau einer Stelle eine ${}1$ und sonst überall ${}0$ stehen haben, eine Basis, siehe Aufgabe.

Beispiel

Im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ sind die Potenzen ${}X^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Basis. Nach Definition kann man jedes Polynom

$a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$

als Linearkombination der Potenzen ${}X^{0}=1,X^{1}=X,\ldots ,X^{n}$ schreiben. Ferner sind diese Potenzen linear unabhängig. Wenn nämlich

${}a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}=0\,$

ist, so müssen alle Koeffizienten gleich ${}0$ sein (dies gehört zum Begriff eines Polynoms).