Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow E$

eine Cauchy-Folge von stetigen Abbildungen. Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine Grenzabbildung konvergiert, die ebenfalls stetig ist. Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\Vert {f_{n}(x)-f_{m}(x)}\Vert \leq \epsilon \,$

für alle ${}x\in T$} gilt. Daher ist für jedes ${}x\in T$ die Folge ${}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in ${}E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge ${}f(x)$, sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung

$f\colon T\longrightarrow E,\,x\longmapsto f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$

ergibt, gegen die die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Da ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen ${}\epsilon >0$ stets ein ${}n_{0}$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle ${}x\in T$ gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar gleichmäßig gegen ${}f$ (und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm). Aufgrund von Fakt ist daher ${}f$ stetig und daher ist ${}f\in C$.

Zur bewiesenen Aussage