Differenzierbare Kurven/Vektorraum/2/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Dann heißt ${}f$ in ${}t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$

existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von ${}f$ in ${}t$ und wird mit

$f'(t)$

bezeichnet.

Die Ableitung ist selbst wieder ein Vektor in ${}V$. Statt Ableitung spricht man auch vom Differentialquotienten in einem (Zeit)-Punkt ${}t$. Bei ${}f'(t)\neq 0$ versteht man unter der Tangente an ${}f(t)$ zum Zeitpunkt ${}t$ die durch

${\left\{f(t)+s\cdot f'(t)\mid s\in \mathbb {R} \right\}}$

gegebene Gerade.

Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Dann heißt ${}f$ differenzierbar, wenn ${}f$ in jedem Punkt ${}t\in I$ differenzierbar ist. Die Abbildung

$I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f'(t),$

heißt dann die Ableitung von ${}f$.

Die Ableitung einer differenzierbaren Kurve ist damit selbst wieder eine Kurve. Wenn die Ableitung stetig ist, so nennt man die Kurve stetig differenzierbar. Wenn die Ableitung selbst differenzierbar ist, so nennt man die Ableitung der Ableitung die zweite Ableitung der Ausgangskurve.

Das folgende Lemma zeigt, dass dieser Differenzierbarkeitsbegriff nichts wesentlich neues ist, da er auf die Differenzierbarkeit von Funktionen in einer Variablen zurückgeführt werden kann.

Lemma

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und es seien

$f_{j}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

die zugehörigen Komponentenfunktionen von ${}f$. Es sei ${}t\in I$.

Dann ist ${}f$ genau dann differenzierbar in ${}t$, wenn sämtliche Funktionen ${}f_{j}$ in ${}t$ differenzierbar sind.

In diesem Fall gilt

${}f'(t)=f_{1}'(t)\cdot v_{1}+f_{2}'(t)\cdot v_{2}+\cdots +f_{n}'(t)\cdot v_{n}\,.$

Beweis

Sei ${}t'\in I$, ${}t'\neq t$. Es ist

${}{\begin{aligned}{\frac {f(t')-f(t)}{t'-t}}&={\frac {\sum _{j=1}^{n}f_{j}(t')\cdot v_{j}-\sum _{j=1}^{n}f_{j}(t)\cdot v_{j}}{t'-t}}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {f_{j}(t')-f_{j}(t)}{t'-t}}\cdot v_{j}.\end{aligned}}$

Nach Aufgabe existiert der Limes links für ${}t'\rightarrow t$ genau dann, wenn der entsprechende Limes rechts komponentenweise existiert.

$\Box$

Die vorstehende Aussage wird hauptsächlich für die Standardbasis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ angewendet.

Beispiel

Die Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2}-t^{3},\,t\cdot \sin t,\,e^{-t}\right)$

ist in jedem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$ differenzierbar, und zwar ist

${}f'(t)=\left(2t-3t^{2},\,\sin t+t\cdot \cos t,\,-e^{-t}\right)\,.$

Beispiel

Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion auf einem reellen Intervall. Dann wird der Graph zu ${}f$ als Bahn durch die differenzierbare Kurve ${}I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$, ${}t\longmapsto (t,f(t))$, realisiert. Ihre Ableitung ist ${}g'(t)=(1,f'(t))$. Der Graph wird in horizontaler Richtung mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen und folgt vertikal dem Funktionsverlauf von ${}f$.

Beispiel

Die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right)$

besitzt nach Fakt und nach Fakt die Ableitung

${}f'(t)=\left(-\sin t,\,\cos t\right)\,.$

Wegen

${}\left\langle {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle =-\cos t\sin t+\sin t\cos t=0\,$

steht der Geschwindigkeitsvektor stets senkrecht auf dem Ortsvektor. Die Norm des Geschwindigkeitsvektors ist stets gleich ${}1$, der Kreis wird also mit konstanter Geschwindigkeitsnorm durchlaufen.

Lemma

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Es seien

$f,g\colon I\longrightarrow V$

zwei in ${}t_{0}\in I$ differenzierbare Kurven und es sei

$h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}t_{0}$ differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Summe

   $f+g\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t)+g(t),$

   ist in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

   ${}(f+g)'(t_{0})=f'(t_{0})+g'(t_{0})\,.$

2. Das Produkt

   $hf\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto h(t)\cdot f(t),$

   ist differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

   ${}(hf)'(t_{0})=h(t_{0})\cdot f'(t_{0})+h'(t_{0})\cdot f(t_{0})\,.$

   Insbesondere ist für ${}c\in \mathbb {R}$ auch ${}cf$ differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

   ${}(cf)'(t_{0})=cf'(t_{0})\,.$

3. Wenn ${}h$ nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion

   ${\frac {f}{h}}\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto {\frac {f(t)}{h(t)}},$

   in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

   ${}{\left({\frac {f}{h}}\right)}'(t_{0})={\frac {h(t_{0})f'(t_{0})-h'(t_{0})f(t_{0})}{(h(t_{0}))^{2}}}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Man kann natürlich zwei Abbildungen ${}f,g\colon I\rightarrow V$ nicht miteinander multiplizieren, sodass in der obigen Produktregel eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Funktion auftreten. Ebenso muss die Kettenregel mit Bedacht formuliert werden.

Lemma

Es seien ${}I$ und ${}J$ zwei reelle Intervalle, es sei

$h\colon I\longrightarrow J,\,s\longmapsto h(s),$

eine in ${}s_{0}\in I$ differenzierbare Funktion und es sei

$f\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$

eine in ${}t_{0}=h(s_{0})$ differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve

$f\circ h\colon I\longrightarrow V,\,s\longmapsto f(h(s)),$

in ${}s_{0}$ differenzierbar und es gilt

${}(f\circ h)'(s_{0})=h'(s_{0})\cdot f'(h(s_{0}))\,.$

Beweis

Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ die Komponentenfunktionen von ${}f$ bezüglich einer Basis von ${}V$. Nach der Kettenregel in einer Variablen gilt

${}(f_{i}\circ h)'(s_{0})=h'(s_{0})\cdot f_{i}'(h(s_{0}))\,$

für jedes ${}i=1,\ldots ,n$. Dies ist wegen Fakt die Behauptung.

$\Box$

In der vorstehenden Situation sollte man sich ${}h$ als eine Umparametrisierung der Zeit vorstellen. Die Bahn der Kurve bleibt erhalten, es ändert sich aber die Geschwindigkeit und eventuell die Orientierung, mit der die Bahn durchlaufen wird. Wenn ${}h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}t\longmapsto -t$ die Negation ist, so wird die Kurve mit umgekehrter Zeitrichtung durchlaufen. Die Aussage besagt in diesem Fall, dass die Ableitung der umgekehrten Kurve negiert werden muss.

Lemma

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ und ${}W$ seien euklidische Vektorräume und es sei

$f\colon I\longrightarrow V$

eine differenzierbare Kurve. Es sei

$L\colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

Dann ist auch die zusammengesetzte Abbildung

$L\circ f\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto L(f(t)),$

differenzierbar und es gilt

${}(L\circ f)'(t)=L(f'(t))\,.$

Beweis

Sei ${}t_{0}\in I$ fixiert und sei ${}t\in I$, ${}t\neq t_{0}$. Wegen der Linearität ist

${}L{\left({\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}\right)}={\frac {L(f(t))-L(f(t_{0}))}{t-t_{0}}}\,.$

D.h. der Differenzenquotient zu ${}L\circ f$ ist gleich dem Wert unter ${}L$ des Differenzenquotienten zu ${}f$. Wegen der Voraussetzung und der Stetigkeit einer linearen Abbildung existiert der Limes links für ${}t\rightarrow t_{0}$, also existiert auch der Limes rechts, und das bedeutet, dass der Differentialquotient der zusammengesetzten Abbildung ${}L\circ f$ existiert und mit dem Wert unter ${}L$ des Differentialquotienten zu ${}f$ übereinstimmt.

$\Box$