Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über Wege/Einführung/Textabschnitt

Wir brauchen einige einfache Lemmata, um nachzuweisen, dass es sich hierbei um einen sinnvollen Begriff handelt.

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Es seien

$\gamma _{1}\colon I_{1}\longrightarrow M$

und

$\gamma _{2}\colon I_{2}\longrightarrow M$

zwei auf offenen Intervallen ${}0\in I_{1},I_{2}\subseteq \mathbb {R}$ definierte differenzierbare Kurven mit ${}\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$. Dann heißen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ tangential äquivalent in ${}P$, wenn es eine offene Umgebung ${}P\in U$ und eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass

${}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$

gilt.

Lemma

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Es seien

$\gamma _{1}\colon I_{1}\longrightarrow M$

und

$\gamma _{2}\colon I_{2}\longrightarrow M$

zwei auf offenen Intervallen ${}0\in I_{1},I_{2}\subseteq \mathbb {R}$ definierte differenzierbare Kurven mit ${}\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$.

Dann sind ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ genau dann tangential äquivalent in ${}P$, wenn für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

${}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$

gilt.

Beweis

Für eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow M$

mit ${}0\in I$ und ${}\gamma (0)=P$ und eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

(mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$) ändert sich der Ausdruck

${\left(\alpha \circ {\left(\gamma {|}_{\gamma ^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)$

nicht, wenn man zu einem kleineren offenen Intervall ${}0\in I'\subseteq I$ und einer kleineren offenen Menge ${}P\in U'\subseteq U$ (mit der induzierten Karte) übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ auf dem gleichen Intervall definiert sind und ihre Bilder in ${}U$ liegen, und dass es für dieses ${}U$ zwei Karten

$\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$

und

$\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$

gibt. Dann folgt aus

${}(\alpha _{1}\circ \gamma _{1})'(0)=(\alpha _{1}\circ \gamma _{2})'(0)\,$

nach der Kettenregel unter Verwendung der Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung ${}\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ sofort

${}{\begin{aligned}{\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)&={\left({\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)}\circ {\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}\right)}'(0)\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{2}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{2}\right)}'(0).\end{aligned}}$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt.

Dann ist die tangentiale Äquivalenz von differenzierbaren Kurven durch ${}P$ eine Äquivalenzrelation.

Beweis

Die Reflexiviät und die Symmetrie der Relation sind unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien drei differenzierbare Kurven

$\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\colon I\longrightarrow M$

gegeben, wobei wir sofort annehmen dürfen, dass sie auf dem gleichen offenen Intervall ${}0\in I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sind. Es seien ${}P\in U_{1},U_{2}$ offene Mengen, mit denen man die tangentiale Gleichheit von ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ bzw. von ${}\gamma _{2}$ und ${}\gamma _{3}$ nachweisen kann. Dann kann man nach Fakt mit ${}U=U_{1}\cap U_{2}$ die tangentiale Gleichheit von ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{3}$ nachweisen.

$\Box$

Aufgrund dieses Lemmas ist die folgende Definition sinnvoll.

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an ${}P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch ${}P$. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit

$T_{P}M$

bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}P\in M$ ein Punkt, ${}P\in U=M$ offen und

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Karte. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Abbildung

   $T_{p}M\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,[\gamma ]\longmapsto {\left(\alpha \circ \gamma {|}_{\gamma ^{-1}(U)}\right)}'(0),$

   ist eine wohldefinierte Bijektion.

2. Die durch diese Abbildung auf ${}T_{p}M$ definierte Vektorraumstruktur ist unabhängig von der gewählten Karte.

Beweis

(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegen Fakt klar. Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Definition. Zur Surjektivität sei ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$. Wir betrachten die affin-lineare Kurve

$\theta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto \theta (t)=\alpha (P)+tv,$

dessen Ableitung in ${}0$ gerade ${}v$ ist. Wir schränken diese Kurve auf ein Intervall ${}0\in I\subseteq \mathbb {R}$ derart ein, dass ${}\theta (I)\subseteq V$ ist und betrachten

$\gamma =\alpha ^{-1}\circ \theta \colon I\longrightarrow M.$

Für diese Kurve gilt

${}\gamma (0)={\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}(0)=\alpha ^{-1}(\theta (0))=\alpha ^{-1}(\alpha (P))=P\,$

und

${}{\left(\alpha \circ \gamma \right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}\right)}'(0)=\theta '(0)=v\,.$

(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten

$\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$

und

$\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$

vorliegen. Die Übergangsabbildung

$\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

ist ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus und für ihr totales Differential in ${}\alpha _{1}(P)$ gilt nach der Kettenregel die Beziehung

${}{\left(D(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left((\alpha _{1}\circ \gamma )'(0)\right)}=(\alpha _{2}\circ \gamma )'(0)\,.$

Das bedeutet, dass das Diagramm

${\begin{matrix}T_{P}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei vertikal das totale Differential zu ${}\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ steht, kommutiert. Da das totale Differential eine lineare Abbildung ist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf ${}T_{P}M$ unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.

$\Box$

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an ${}P$, geschrieben ${}T_{P}M$, versteht man die Menge der Tangentialvektoren an ${}P$ versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen reellen Vektorraumstruktur.

Die Dimension des Tangentialraumes stimmt mit der Dimension der Mannigfaltigkeit überein. Jede Karte induziert einen Isomorphismus zwischen ${}T_{P}M$ und dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, aber diese Isomorphismen hängen von der gewählten Karte ab. Insbesondere gibt es auf dem Tangentialraum keine Standardbasis.