Diskreter Bewertungsring/Beispiele/Charakterisierung/2/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.

Einen Erzeuger des maximalen Ideals in einem diskreten Bewertungsring nennt man auch eine Ortsuniformisierende.

Lemma

Ein diskreter Bewertungsring ist

ein lokaler, noetherscher Hauptidealbereich mit genau zwei Primidealen, nämlich ${}0$ und dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Beweis

Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Ebenso wird jedes von null verschiedene Primideal durch ein Primelement erzeugt, sodass es neben dem maximalen Ideal nur noch das Nullideal gibt.

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Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X]$ der Polynomring und ${}R=K[X]_{(X)}$ die Lokalisierung am maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X)$. Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von ${}R$ sind ${}(0)\subset (X)$, und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja ${}K[X]$ ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich ${}X$.

Beispiel

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}R=\mathbb {Z} _{(p)}$ die Lokalisierung am maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von ${}R$ sind ${}(0)\subset (p)$, und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja ${}\mathbb {Z}$ ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich ${}p$.

Definition

Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement ${}p$ heißt die Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft ${}f=up^{n}$, wobei ${}u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} \,(f)$ bezeichnet.

Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum (bis auf Assoziiertheit) einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften.

Lemma

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$.

Dann hat die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$.
3. Es ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$ ist.
4. Es ist ${}f\in R^{\times }$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)=0$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Wir wollen eine wichtige Charakterisierung für diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integritätsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen.

Lemma

Es sei ${}S$ ein noetherscher lokaler kommutativer Ring. Es sei vorausgesetzt, dass das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ das einzige Primideal von ${}S$ ist.

Dann gibt es einen Exponenten ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}{\mathfrak {m}}^{n}=0\,.$

Beweis

Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in ${}R$ eine Einheit oder nilpotent ist. Es sei hierzu ${}f\in R$ keine Einheit. Dann ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$. Angenommen, ${}f$ ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach Fakt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ mit ${}f\notin {\mathfrak {p}}$. Damit ergibt sich der Widerspruch ${}{\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {m}}$.

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem ${}f_{1},\ldots ,f_{k}$ von ${}{\mathfrak {m}}$ eine natürliche Zahl ${}m$ mit $f_{i}^{m}=0$ für alle $i=1,\ldots ,k$. Sei ${}n=km$. Dann ist ein beliebiges Element aus ${}{\mathfrak {m}}^{n}$ von der Gestalt

${\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i1}f_{i}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i2}f_{i}\right)}\cdots {\left(\sum _{i=1}^{k}a_{in}f_{i}\right)}.$

Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen $f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{k}^{r_{k}}$ und $\sum _{i=1}^{k}r_{i}=n$, sodass ein ${}f_{i}$ mit einem Exponenten ${}\geq n/k=m$ vorkommt. Daher ist das Produkt ${}0$.

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Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
2. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
3. ${}R$ ist faktoriell.
4. ${}R$ ist normal.
5. ${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$ folgt direkt aus der Definition.

${}(2)\Rightarrow (3)$ folgt aus der allgemeinen Aussage, dass jeder Hauptidealbereich faktoriell ist.

${}(3)\Rightarrow (4)$ folgt aus Fakt.

${}(4)\Rightarrow (5)$. Es sei ${}f\in {\mathfrak {m}}$, ${}f\neq 0$. Dann ist ${}R/(f)$ ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich ${}{\tilde {\mathfrak {m}}}={\mathfrak {m}}R/(f)$). Daher gibt es nach Fakt ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}{\tilde {\mathfrak {m}}}^{n}=0$. Zurückübersetzt nach ${}R$ heißt das, dass ${}{\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)$ gilt. Wir wählen ${}n$ minimal mit den Eigenschaften

${\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {m}}^{n-1}\not \subseteq (f).$

Wähle $g\in {\mathfrak {m}}^{n-1}$ mit $g\not \in (f)$ und betrachte

${}h:={\frac {f}{g}}\in Q(R)\,$

(es ist ${}g\neq 0$). Das Inverse, also ${}h^{-1}={\frac {g}{f}}$, gehört nicht zu ${}R$, sonst wäre ${}g\in (f)$. Da ${}R$ nach Voraussetzung normal ist, ist ${}h^{-1}$ auch nicht ganz über ${}R$. Nach dem Modulkriterium Fakt für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subset R$ die Beziehung

${}h^{-1}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}\,$

ist. Nach Wahl von ${}g$ ist aber auch

${}h^{-1}{\mathfrak {m}}={\frac {g}{f}}{\mathfrak {m}}\subseteq {\frac {{\mathfrak {m}}^{n}}{f}}\subseteq R\,.$

Daher ist ${}h^{-1}{\mathfrak {m}}$ ein Ideal in ${}R$, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist ${}h^{-1}{\mathfrak {m}}=R$. Das heißt einerseits ${}h\in {\mathfrak {m}}$ und andererseits gilt für ein beliebiges ${}x\in {\mathfrak {m}}$ die Beziehung ${}h^{-1}x\in R$, also ${}x=h(h^{-1}x)$, also ${}x\in (h)$ und somit ${}(h)={\mathfrak {m}}$.

${}(5)\Rightarrow (1)$. Sei ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$. Dann ist ${}\pi$ ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Es sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$ keine Einheit. Dann ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ und daher ${}f=\pi g_{1}$. Dann ist ${}g_{1}$ eine Einheit oder ${}g_{1}\in {\mathfrak {m}}$. Im zweiten Fall ist wieder ${}g_{1}=\pi g_{2}$ und ${}f=\pi ^{2}g_{2}$.

Wir behaupten, dass man ${}f=\pi ^{k}u$ mit einem ${}k\in \mathbb {N}$ und einer Einheit ${}u$ schreiben kann. Andernfalls könnte man ${}f=\pi ^{n}g_{n}$ mit beliebig großem ${}n$ schreiben. Nach Fakt gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit ${}(\pi ^{m})={\mathfrak {m}}^{m}\subseteq (f)$. Bei ${}n\geq m+1$ ergibt sich ${}\pi ^{m}=af=a\pi ^{m+1}b$ und der Widerspruch ${}1=ab\pi$.

Es lässt sich also jede Nichteinheit ${}\neq 0$ als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist ${}R$ faktoriell. Für ein beliebiges Ideal ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{s})$ ist ${}f_{i}=\pi ^{n_{i}}u_{i}$ mit Einheiten ${}u_{i}$. Dann sieht man leicht, dass ${}{\mathfrak {a}}=(\pi ^{n})$ ist mit ${}n=\min _{i}\{n_{i}\}$.

$\Box$