Elementarmatrizen/Inverse Matrix/Einführung/Textabschnitt

Wir möchten zu einer Matrix ${}M$ bestimmen, ob sie invertierbar ist oder nicht und wie gegebenenfalls die inverse Matrix aussieht. Dazu sind Elementarmatrizen hilfreich, da man mit ihnen die Manipulationen, die im Eliminationsverfahren auftreten, als Matrizenmultiplikationen beschreiben kann.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an ${}M$ elementare Zeilenumformungen.

1. Vertauschung von zwei Zeilen.
2. Multiplikation einer Zeile mit ${}s\neq 0$.
3. Addition des ${}a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in Fakt gezeigt wurde.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Mit ${}B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige ${}n\times n$-Matrix, die an der Stelle ${}(i,j)$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

1. ${}V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
2. ${}S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
3. ${}A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.

Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus.

${}V_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &1&\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$

${}S_{k}(s)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\cdots &0&s&0&\cdots &0\\0&\cdots &\cdots &0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$

${}A_{ij}(a)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &a&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\ddots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$

Elementarmatrizen sind invertierbar, siehe Aufgabe, und ihre Inversen sind ebenfalls Elementarmatrizen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix mit Einträgen in ${}K$. Dann hat die Multiplikation mit den ${}m\times m$-Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung.

1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$.

Dann gibt es elementare Zeilenumformungen und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten

$j_{1},\,j_{2},\ldots ,j_{n}$

und ein ${}r\leq n$ derart, dass in der entstandenen Matrix die Spalten die Gestalt

$s_{j_{k}}={\begin{pmatrix}b_{1,j_{k}}\\\vdots \\b_{k,j_{k}}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}{\text{ mit }}b_{k,j_{k}}\neq 0{\text{ für }}k\leq r$

und

$s_{j_{k}}={\begin{pmatrix}b_{1,j_{k}}\\\vdots \\b_{r,j_{k}}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}{\text{ für }}k>r$

besitzen. Durch elementare Zeilenumformungen und zusätzliche Spaltenvertauschungen kann man also eine Matrix auf die Gestalt

${\begin{pmatrix}d_{11}&*&\cdots &*&*&\cdots &*\\0&d_{22}&\cdots &*&*&\cdots &*\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &d_{rr}&*&\cdots &*\\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

mit ${}d_{ii}\neq 0$ bringen.

Beweis

Dies beruht auf den entsprechenden Manipulationen für Gleichungen wie beim Eliminationsverfahren, siehe die zweite Vorlesung.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Matrix ${}{\begin{pmatrix}4&1\\3&5\\2&7\end{pmatrix}}$. Wir wollen diese Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen und diese Manipulatonen durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen realisieren. Die erste Umformung ist, die zweite Zeile durch ${}II-{\frac {3}{4}}I$ zu ersetzen. Die geschieht durch

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-{\frac {3}{4}}&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1\\3&5\\2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\2&7\end{pmatrix}}\,.$

Die dritte Zeile soll durch ${}III-2I$ ersetzt werden, dies wird realisiert durch

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-{\frac {1}{2}}&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\0&{\frac {13}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

Die neue dritte Zeile kann man zu einer Nullzeile machen, indem man sie durch ${}III-{\frac {2}{13}}II$ ersetzt. Dies wird realisiert durch

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-{\frac {26}{17}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\0&{\frac {13}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

Beispiel

Wir betrachten die Matrix ${}{\begin{pmatrix}4&1&3\\5&2&7\end{pmatrix}}$. Wir wollen diese Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen und diese Manipulationen durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen realisieren. Die einzige Umformung ist, die zweite Zeile durch ${}II-{\frac {5}{4}}I$ zu ersetzen. Dies wird durch

${}{\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {5}{4}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1&3\\5&2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1&3\\0&{\frac {3}{4}}&{\frac {13}{4}}\end{pmatrix}}\,$

realisiert.

Beispiel

Die Matrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ ist nicht in der in Fakt zuletzt beschriebenen Form, und kann auch nicht durch Zeilenumformungen dahin gebracht werden. Durch Spaltenvertauschungen ist das möglich.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix über ${}K$.

Dann gibt es elementare Zeilenumformungen derart, dass nach diesen Umformungen eine Matrix der Gestalt

${\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}$

mit ${}d_{i}\neq 0$ entsteht. Durch weitere elementare Zeilenumformungen kann die Einheitsmatrix erreicht werden.

Beweis

Dies beruht auf den Manipulationen des Eliminationsverfahrens und darauf, dass elementare Zeilenumformungen nach Fakt durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen von links ausgedrückt werden können. Dabei können in einer Spalte bzw. in einer Zeile nicht nur Nullen entstehen, da die Elementarmatrizen invertierbar sind und so in jedem Schritt die Invertierbarkeit erhalten bleibt. Eine Matrix mit einer Nullspalte oder einer Nullzeile ist aber nicht invertierbar. Wenn eine invertierbare obere Dreiecksmatrix vorliegt, so sind nach Aufgabe die Diagonaleinträge nicht ${}0$ und man kann mit skalarer Multiplikation die Diagonaleinträge zu ${}1$ machen und damit die in jeder Spalte darüberliegenden Einträge zu ${}0$.

$\Box$

Insbesondere gibt es zu einer invertierbaren Matrix ${}M$ Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass

$E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$

die Einheitsmatrix ist.