Elliptische Kurve/Isogenie/Homomorphismus/Textabschnitt
Satz
Es seien elliptische Kurven über einem Körper und sei
eine Isogenie.
Dann ist ein Homomorphismus bezüglich der Gruppenstrukturen auf den Kurven.
Beweis
Wir können annehmen, dass algebraisch abgeschlossen ist. Es liegt ein kommutatives Diagramm
vor, da
ist. Die horizontalen Abbildungen sind nach Fakt Gruppenisomorphismen. Die vertikale Abbildung rechts ist nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist auch die vertikale Abbildung links ein Gruppenhomomorphismus.
Satz
Es sei eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven und .
Dann ist étale.
Beweis
Aufgrund der Separabilität gibt es nach Fakt eine nichtleere offene affine Teilmenge derart, dass auch affin ist und die eingeschränkte Abbildung
die Eigenschaft besitzt, dass der Kählermodul gleich ist. Aus Fakt folgt somit, dass über einem jeden Punkt genau Punkte liegen, wobei den Grad der Kurvenabbildung bezeichnet. Es sei nun ein beliebiger Punkt und sei ein Punkt oberhalb von . Wir fixieren einen Punkt und einen Punkt oberhalb von . Wir betrachten die Translation auf von nach und die Translation auf von nach . Nach Fakt gilt
d.h. das Diagramm
kommutiert. D.h. durch wird die Faser über isomorph in die Faser über überführt und besteht auch aus genau Punkten.
Korollar
Es sei eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven und über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .
Dann ist