Endliche Körper/Konstruktion als Zerfällungskörper/Mit Ableitung/Textabschnitt
Endliche Körper mit der Anzahl konstruiert man, indem man ein in irreduzibles Polynom vom Grad findet. Ob ein gegebenes Polynom irreduzibel ist, lässt sich dabei grundsätzlich in endlich vielen Schritten entscheiden, da es ja zu jedem Grad überhaupt nur endlich viele Polynome gibt, die als Teiler in Frage kommen können. Zur Konstruktion von einigen kleinen endlichen Körpern siehe Aufgabe und Aufgabe. Generell kann man einen Körper mit Elementen als Zerfällungskörper des Polynoms über erhalten.
![{\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(p))[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e065fb1cf1195b57a88bcf24d57173b73888c3)
Zunächst gilt für jedes Element , dass
ist, wobei wir wiederholt den kleinen Fermat benutzt haben. Insbesondere ist also . Es ist und der Frobeniushomomorphismus
ist ein Ringhomomorphismus nach Aufgabe. Daher ist für einerseits
und andererseits
Ferner gilt für , , die Gleichheit
sodass auch das Inverse zu gehört und in der Tat ein Körper vorliegt.
Im Beweis der nächsten Aussage werden wir die Technik des formalen Ableitens verwenden. Ableiten ist eigentlich eine analytische Technik, und bekanntlich ist die Ableitung eines Monoms gleich , und die Ableitung eines Polynoms ergibt sich durch lineare Fortsetzung dieser Regel. Da der Exponent der Variablen zum Vorfaktor wird, und da man jede ganze Zahl in jedem Körper eindeutig interpretieren kann, ergeben solche Ableitungen auch rein algebraisch für jeden Grundkörper Sinn. Wir definieren daher.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zu einem Polynom heißt das Polynom
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
![{\displaystyle {}F=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca66867f58ceab698a87fd00a93a81a677d4281)
die formale Ableitung von .
Man beachte, dass, insbesondere bei positiver Charakteristik, das algebraische Ableiten einige überraschende Eigenschaften haben kann. In positiver Charakteristik ist beispielsweise
Für einige grundlegende Eigenschaften des Ableitens siehe die Aufgaben. Wichtig ist für uns, dass man mit der formalen Ableitung testen kann, ob die Nullstellen eines Polynoms einfach oder mehrfach sind
(eine Nullstelle heißt mehrfach, wenn das zugehörige lineare Polynom das Polynom mehrfach teilt, d.h. wenn es in der Primfaktorzerlegung mit einem Exponenten vorkommt).
Es sei ein Körper der Charakteristik , sei , . Das Polynom zerfalle über in Linearfaktoren.
Dann ist
ein Unterkörper von mit Elementen.
Es sei eine Primzahl und .
Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit Elementen.
Zur Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper und das Polynom an und erhalten einen Körper der Charakteristik , über dem in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper von , der aus genau Elementen besteht.
Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass ein Körper mit Elementen der Zerfällungskörper des Polynoms sein muss, sodass er aufgrund dieser Eigenschaft nach Fakt eindeutig bestimmt ist. Es sei also ein Körper mit Elementen, der dann als Primkörper enthält. Da genau Elemente besitzt, gilt nach Fakt die Gleichung für jedes und damit auch für jedes . Dieses Polynom vom Grad hat also in genau verschiedene Nullstellen, sodass es also über zerfällt. Zugleich ist der von allen Nullstellen erzeugte Unterkörper gleich , sodass der Zerfällungskörper ist.
Es sei eine Primzahl und . Der aufgrund von Fakt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit Elementen wird mit
bezeichnet.
Für ist . Dagegen sind für , , die Ringe und verschieden, obwohl beide Ringe Elemente besitzen. Dies liegt einfach daran, dass ein Körper ist, aber nicht.
