Endomorphismus/Minimalpolynom/Charakteristisches Polynom/Textabschnitt

Korollar

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist das charakteristische Polynom ${}\chi _{f}$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms ${}\mu _{f}$ zu ${}f$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.

$\Box$

Insbesondere ist der Grad des Minimalpolynoms zu ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ durch die Dimension des Vektorraums ${}V$ beschränkt. Minimalpolynom und charakteristisches Polynom stimmen in verschiedener Hinsicht überein, beispielsweise besitzen sie die gleichen Nullstellen.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor von ${}f$ zum Eigenwert ${}\lambda$ und es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom.

Dann ist

${}(P(f))(v)=P(\lambda )v\,.$

Insbesondere ist ${}v$ ein Eigenvektor von ${}P(f)$ zum Eigenwert ${}P(\lambda )$. Der Vektor ${}v\neq 0$ gehört genau dann zum Kern von ${}P(f)$, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle von ${}P$ ist.

Beweis

Es ist

${}(f^{k})(v)=\lambda ^{k}v\,.$

Daher folgt alles daraus, dass die Zuordnung ${}P\mapsto P(f)$ mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich ist.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann besitzen das charakteristische Polynom ${}\chi _{f}$ und das Minimalpolynom ${}\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen.

Beweis

Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton.

Umgekehrt sei ${}\lambda \in K$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor von ${}f$ zum Eigenwert ${}\lambda$, den es nach Fakt gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als

${}\mu _{f}=(X-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{m_{k}}Q\,,$

wobei ${}Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist

${}{\begin{aligned}0&=\mu _{f}(f)\\&={\left((X-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{m_{k}}Q\right)}(f)\\&=(f-\lambda _{1}\operatorname {Id} _{V})^{m_{1}}\cdots (f-\lambda _{k}\operatorname {Id} _{V})^{m_{k}}Q(f).\end{aligned}}$

Wir wenden dies auf ${}v$ an. Nach Fakt bilden die Faktoren den Vektor ${}v$ auf ${}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}v$ bzw. auf ${}Q(\lambda )v$ ab. Insgesamt wird somit ${}v$ auf

$(\lambda -\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (\lambda -\lambda _{k})^{m_{k}}Q(\lambda )v$

abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und ${}Q(\lambda )\neq 0$ ist, muss ein ${}\lambda _{i}=\lambda$ sein.

$\Box$