Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$ das lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Es sei ${}J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall und es seien

$v_{1},v_{2}\colon J\longrightarrow V$

Lösungen des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$

Dann ist ${}v_{1}=v_{2}$.

Beweis

Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{t\in J\mid v_{1}(t)=v_{2}(t)\right\}}\,.$

Wegen ${}t_{0}\in M$ ist diese Menge nicht leer. Zu jedem Punkt ${}t\in I$ gibt es nach Fakt eine offene Intervallumgebung ${}t\in J'$, worauf es zu gegebener Anfangsbedingung ${}v(t)=v_{0}$ genau eine Lösung der Differentialgleichung gibt. Wenn ${}t\in M$ ist, so ist ${}v_{1}(t)=v_{2}(t)$ und daher stimmen ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ in einer offenen Umgebung ${}t\in J'$ mit der eindeutigen Lösung und damit untereinander überein. Also ist ${}J'\subseteq M$. Dies bedeutet, dass ${}M$ eine offene Teilmenge von ${}J$ ist.
Andererseits sind ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ stetig und daher ist nach Aufgabe die Menge ${}M$ auch abgeschlossen in ${}J$.
Da ein Intervall nach Fakt zusammenhängend ist, folgt ${}M=J$.

$\Box$

Das folgende Beispiel zeigt, dass ohne die Lipschitz-Bedingung die Lösung eines Anfangswertproblems nicht eindeutig bestimmt ist. In diesem Beispiel ist das Vektorfeld nach ${}v$ ableitbar, die Ableitung ist aber nicht stetig, so dass Fakt nicht anwendbar ist.

Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem

$v'=3v^{2/3}{\text{ mit }}v(0)=0$

zum zeitunabhängigen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$

Offensichtlich gibt es die stationäre Lösung

${}h(t)=0\,,$

aber auch

${}g(t)=t^{3}\,$

ist eine Lösung, wie man durch Nachrechnen sofort bestätigt. Aus diesen beiden Lösungen kann man sich noch weitere Lösungen basteln. Es seien dazu ${}a<b$ reelle Zahlen. Dann ist auch

${}\varphi (t)={\begin{cases}(t-a)^{3}{\text{ für }}t<a,\\0{\text{ für }}a\leq t\leq b,\\(t-b)^{3}{\text{ für }}t>b,\end{cases}}\,$

eine Lösung. D.h. es gibt Lösungen, bei denen das Teilchen beliebig lange (im Zeitintervall von ${}a$ nach ${}b$) ruht und danach (und davor) sich bewegt. Sobald sich das Teilchen in einem Punkt ${}\neq 0$ befindet, ist der Bewegungsablauf lokal eindeutig bestimmt.

Bemerkung  

Zu einem stetigen Vektorfeld

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

kann man sich fragen, ob es ein maximales Definitionsintervall ${}J$ für die Lösung eines Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

gibt. Dies ist in der Tat der Fall, wenn das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt! Man kann nämlich alle Teilmengen

$J\subseteq I{\text{ offen }},\,t_{0}\in J,\,{\text{ es gibt eine L}}{\ddot {o}}{\text{sung }}v_{J}{\text{ auf }}J$

betrachten. Wegen Fakt stimmen zwei Lösungen ${}v_{J}$ und ${}v_{J'}$ auf dem Durchschnitt ${}J\cap J'$ überein, und liefern daher eine eindeutige Lösung auf der Vereinigung ${}J\cup J'$. Daher enthält die Menge der Teilintervalle, auf denen eine Lösung definiert ist, ein maximales Teilintervall ${}J$.

Dieses Teilintervall kann kleiner als ${}I$ sein. Die Grenzen des maximalen Teilintervalls, auf dem eine Lösung definiert ist, heißen auch Entweichzeiten.