Gruppe/Homomorphismus/Einführung und Standardbeispiele/2/Textabschnitt


Es seien und Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

für alle gilt.


Es sei fixiert. Die Abbildung

ist ein Gruppenhomomorphismus. Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für ist die Abbildung injektiv und das Bild ist die Untergruppe . Bei liegt die Nullabbildung vor. Bei ist die Abbildung die Identität, bei ist die Abbildung nicht surjektiv.



Es sei . Wir betrachten die Menge

mit der in Aufgabe beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung

die eine ganze Zahl auf ihren Rest bei Division durch abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus. Sind nämlich und mit gegeben, so ist

wobei allerdings sein kann. In diesem Fall ist

und das stimmt mit der Addition von und in überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv.



Wir fassen den komplexen Betrag als Abbildung

auf. Dabei liegen links und rechts Gruppen vor, und nach Fakt  (4) liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Die Abbildung ist surjektiv (da wir eben die positiven reellen Zahlen als Zielbereich gewählt haben), aber nicht injektiv, da beispielsweise der gesamte Einheitskreis auf abgebildet wird.


Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.


Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist und für jedes .

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir

Durch Multiplikation mit folgt .
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir

Das heißt, dass die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt eindeutig bestimmt ist, muss gelten.



Es seien Gruppen.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die Identität

    ist ein Gruppenhomomorphismus.

  2. Sind und Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Gruppenhomomorphismus.
  3. Ist eine Untergruppe, so ist die Inklusion ein Gruppenhomomorphismus.
  4. Es sei die triviale Gruppe. Dann ist die Abbildung , die auf schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die (konstante) Abbildung ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe.


Wir charakterisieren nun die Gruppenhomomorphismen von nach .


Es sei eine Gruppe.

Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz

Es sei fixiert. Dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus durch eindeutig festgelegt, da für positiv und für negativ gelten muss.


Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe nach sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von nach sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl , also