Hopf-Algebra/Einführung/Textabschnitt
Es sei ein kommutativer Ring. Eine kommutative -Algebra heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte -Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation, Koeinheit und Koinverses)
und
gibt, derart, dass die Diagramme
und
kommutieren.
Es sei eine endliche Gruppe und ein kommutativer Ring. Wir setzen
mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von sind. Wir definieren auf eine Hopf-Algebrastruktur unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation
führt zur Abbildung
wodurch wir die Komultiplikation
festlegen. Das Basiselement zu wird dabei auf
abgebildet. Das neutrale Element induziert die Auswertungsabbildung
und die Inversenbildung
führt zu
wobei das Basiselement auf abgebildet wird. Die Abbildungen sind offenbar -Algebrahomomorphismen. Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra.
Es sei ein kommutativer Ring. Auf dem Polynomring kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch
erklärt. Die Koeinheit wird durch
Koinverse ist durch
definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der additiven Gruppe nennt.
Es sei ein kommutativer Ring. Auf kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch
erklärt. Die Koeinheit wird durch
Koinverse ist durch
definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der multiplikativen Gruppe nennt.
Es sei eine kommutative Gruppe, ein kommutativer Ring und der zugehörige Gruppenring, also
Darauf lässt sich die Struktur einer Hopf-Algebra erklären, indem man die Komultiplikation als
die Koeinheit als
und das Koinverse als
-Algebrahomomorphismen gehören zu den Gruppenhomomorphismen , , und , , im Sinne von Fakt.
Die Konstruktion in Beispiel ist ein Spezialfall der Hopf-Algebrastruktur auf einem Gruppenring, nämlich für .